29. La géométrie métrique ordinaire rattachée à la géométrie projective. 95 
4°) Si A, B, G, B, E sont cinq points situés sur une même 
droite et appartenant à la suite infinie des quatrièmes harmoniques 
obtenue en partant de A, B, G et appliquant le procédé indiqué au 
n° 27, on peut déterminer un point X tel qu’il n’existe pas de 
couple de points harmoniques conjugués à la fois au couple AX et 
au couple DE. 
La continuité conduit ensuite à une nouvelle propriété que 
M. Pieri, se plaçant exclusivement au point de vue de l’étude des 
propriétés projectives des formes de rang un, postule en introduisant 
seulement les irrationalités quadratiques dont il a besoin pour cette 
étude élémentaire. 
Métrique projective. 
29. La géométrie métrique ordinaire rattachée à la géométrie 
projective 331 332 ). Si l’on adjoint aux points de l’espace ordinaire euclidien 
les points impropres que l’on suppose former un plan (impropre) à 
l’infini [n° 9], on peut envisager l’espace euclidien comme un espace 
projectif particulier dans lequel l'ombilicale (cercle imaginaire de l’in 
fini) serait donné dans le plan impropre à l’infini comme intersection 
(imaginaire) de toutes les sphères de l’espace. Les propriétés métri 
ques de l’espace peuvent alors être envisagées comme propriétés pro 
jectives dans l’espace ainsi complété. 
C’est ainsi déjà que procède J. V. Poncelet 333 ) en envisageant 
les relations métriques des figures planes comme des relations projec 
tives des points de l’espace auxquels on a adjoint les points cycliques 
(imaginaires à l’infini) communs à tous les cercles du plan, et les 
relations métriques des figures dans l’espace comme des relations pro 
jectives des points de l’espace par rapport au cercle imaginaire de 
l’infini appartenant à toutes les sphères. De cette façon de présenter 
les principes de la géométrie métrique il n’a cependant pas déduit l’ex 
pression de la distance de deux points métriques ou de l’angle de 
deux droites. Après lui, M. Chasles ainsi que plusieurs autres géo 
mètres français ont, dans les démonstrations de divers théorèmes, 
fait usage des ombilics (points cycliques) du plan 333 ) ou de l'ombili 
cale dans l’espace; ils ont en particulier envisagé deux droites d’un 
même plan comme perpendiculaires entre elles lorsque les points à 
331) Cf. H! 3. 
332) Traité des propriétés projectives des figures, (l re éd.) Paris 1822. 
333) Traité de géométrie supérieure, (l re éd.) Paris 1852 p. 447/53, 461/2, 
502; (2 e éd.) Paris 1880, p. 411/6, 424/5, 462,