29. La géométrie métrique ordinaire rattachée à la géométrie projective. 97 
cas où la conique absolue dégénère en un couple de points; c’est à 
ce cas qu’il ramène celui de la géométrie métrique euclidienne des 
figures situées dans un plan ordinaire. 
Les recherches précédentes ont un caractère analytique. Mais il 
convient aussi de rechercher comment on peut parvenir géométrique 
ment à faire rentrer la géométrie métrique ordinaire dans la géométrie 
projective. 
On s’appuie pour cela sur les faits suivants qui concernent les 
formes de rang un, deux ou trois 337 ): 
a. Formes de rang un. La congruence entre segments situés sur 
une même droite peut être envisagée comme une correspondance par 
rapport à une projectivité parabolique ayant son point double à l’infini. 
Dans un faisceau quelconque de droites concourantes dans le plan, 
la congruence d’angles peut être envisagée comme une correspondance 
des droites du faisceau considéré par rapport à une projectivité ayant 
deux droites doubles imaginaires qui vont du centre du faisceau aux 
deux points cycliques du plan de ce faisceau. Cette projectivité trans 
forme donc en elle-même l’involution des angles droits du faisceau 
envisagé. De même dans l’espace, pour les faisceaux de plans se 
coupant suivant une droite ordinaire (et non suivant une droite à 
l’infini). 
b. Formes de rang deux. La similitude de deux figures dans le 
plan [égalité (congruence) des angles correspondants et proportion 
nalité des segments correspondants de ces figures] peut être envisagée 
comme une correspondance projective des éléments d’un plan dans 
laquelle chacun des deux points cycliques du plan se correspond à 
lui-même. [Les deux points cycliques sont les points doubles de l’in- 
volution (absolue) formée par les couples de points à l’infini des droites 
orthogonales deux à deux dans le plan.] 
La congruence de deux segments quelconques du plan peut donc 
être définie graphiquement au moyen des concepts du parallélisme et 
de l’orthogonalité, dont la dépendance avec la droite de l’infini et les 
deux points cycliques situés sur cette droite a déjà été établie. Il 
suffit pour cela d’appliquer les deux définitions que voici; 
a) Deux segments congruents ayant en commun une de leurs 
extrémités sont deux côtés adjacents d’un losange (parallélogramme à 
diagonales orthogonales). 
337) F. Klein, Nicht-Euklidische Geom. 320 ) 1, p. 1 et suiv.; F. Enriques, 
Lezioni geom. proiettiva 27 ), (l re éd.) p. 113, 177, 356. 
Encyclop. dea scienc. mathémat. Ili 1 
7