80. Détermination métrique générale de Cayley. 
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de la conique absolue sont 
V + V + V = x î — 0. 
Cela fixé, il suffit, pour déterminer l’angle de deux droites, de 
connaître les directions de ces deux droites, c’est-à-dire leurs points 
à l’infini. Si 
(x 1} x 2 , x s , 0), (y x , y 2 , y s , 0) 
sont les coordonnées de ces points, l'angle des deux droites est mesuré 
par l’expression 
*v 
= ir lo a 
B -f- y B*— AC 
B — y B* 
où l’on a posé pour abréger l’écriture 
AG 
A^xy + x 2 2 4- x*, 
B * X lVl + ^2 + Z S y 3 , 
O = Vi + Vz + y*? - 
La distance de deux points x, y de coordonnées 
(Æj, x 2 , x 3 , # 4 ), {y x , y 2 , y 2 , y y 
est de même mesurée par l’expression 
*V 
y*V 2 . /f* _ Jfc\ 
y J ’ r y J 
2 
f 
où le radical a sa détermination positive et où le est une constante 
positive dont la valeur dépend du choix que l’on a fait du point-unité 
sur la droite 
^ = a; 2 = x s . 
Ces deux expressions de a xy et de d xy sont des invariants par 
rapport aux équations précédentes de la conique absolue. 
30. Détermination métrique générale de Cayley et son inter 
prétation non-euclidienne par Klein. Il résulte de ce qui précède 
que l’on peut établir dans tout espace projectif une géométrie métrique 
conventionnelle, analogue à la géométrie métrique ordinaire, en regar 
dant un plan de l’espace comme plan idéal (à l’infini) et une conique 
+ z 2 2 + x 2 2 — 0, x± — 0 
située dans ce plan, comme conique absolue. On a tout naturelle 
ment l’idée de généraliser ces conventions, de façon à rattacher aussi 
à la géométrie projective une géométrie métrique conventionnelle dans 
laquelle, au lieu d’une conique absolue, on envisage comme forme 
absolue une quadrique quelconque arbitrairement fixée. On est ainsi 
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