30. Détermination métrique générale de Cayley. 
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où Si xy désigne la forme polaire 
Si xy^ ax \V\ + + X *VÙ + cx iVï 
et où Je désigne une constante arbitrairement fixée. 
Quand les éléments envisagés sont des points, cet intervalle re 
présente une distance. Quand les éléments envisagés sont des droites 
dans un plan ou des plans dans Fespace, cet intervalle représente la 
mesure d’un angle. 
On obtient deux déterminations métriques générales distinctes 
suivant le signe du discriminant de Sl tt . On dit qu’on est dans le 
cas elliptique lorsque les deux éléments P et Q du couple absolu sont 
imaginaires; on dit qu’on est dans le cas hyperbolique lorsque ces deux 
éléments P et Q sont réels et distincts. Dans le cas limite où ils 
sont confondus, on dit qu’on est dans le cas parabolique. 
Dans le cas elliptique, on prend pour Je un nombre purement 
imaginaire. L’intervalle de deux éléments est alors toujours réel. 
Pour 1c — cet intervalle est donné par la formule 
(2) 
cos AB - — * y 
y&xx&yy 
On obtient ainsi une géométrie métrique qui n’est autre que celle 
du faisceau de droites dans le plan ou celle du faisceau de plans dans 
l’espace, et cela aussi bien dans le plan ou l’espace euclidien que dans 
le plan ou l’espace non-euclidien. La forme de rang un, envisagée tout 
entière, a une longueur finie; en prenant pour unité de mesure l’unité 
ordinaire, auquel cas Je = —cette longueur finie est égale à it 341 ). 
Dans le cas hyperbolique, on prend pour Je un nombre réel; 
l’intervalle de deux éléments n’est alors réel que quand ces deux élé 
ments ne sont pas séparés par le couple absolu P, Q. L’intervalle qui 
sépare chacun des deux éléments P et Q de tout autre élément est 
infini. Si donc on considère un seul des deux segments P Q (joignant 
les points P et Q, ou intersection de deux plans P et Q) comme 
341) Dans A. Cayley on ne rencontre que cette formule (2). La formule (1) 
de F. Klein est une formule intermédiaire permettant de passer de cette formule 
(1) à la propriété projective concernant l’angle ordinaire signalée par E. N. Laguerre 
[n° 29]; mais les recherches de F. Klein se différencient surtout des précédentes 
par l’introduction de la constante arbitraire h à laquelle on peut donner une infinité 
de valeurs au lieu de la valeur particulière — qui figure explicitement dans les 
expressions envisagées par E. N. Laguerre et implicitement dans la formule de 
A. Cayley.