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III 1. F. Enriques. Métrique projective.
les trois cas envisagés égale à
4Jc* ’
elle est donc positive dans le cas elliptique, négative dans le cas
hyperbolique, nulle dans le cas parabolique.
Dans le cas elliptique toutes les droites apparaissent comme fer
mées et de longueur finie; de même les faisceaux de droites; l’aire du
plan est, elle aussi, finie. A ce cas correspond le postulat de B. Rie-
mann: que par un point on ne peut mener de parallèle à une droite
[n° 14]. Pour k = ~ la détermination métrique coïncide avec la
détermination métrique ordinaire de la gerbe.
Dans le cas hyperbolique toutes les droites sont ouvertes et de
longueur infinie. Par chaque point on peut mener deux parallèles à.
une droite donnée. La courbure est négative. Cette hypothèse corres
pond à la géométrie de Lobacefskij-Bolyai.
Le cas parabolique peut être envisagé comme un cas limite
commun aux deux précédents; on y retrouve les relations métriques
euclidiennes ordinaires. En particulier la droite joignant les deux
points absolus est la droite de l’infini de la géométrie projective
ordinaire.
Pour simplifier les calculs, il convient de prendre pour £i xx et
O,,,, des formes très simples, comme par exemple
— a{x*-f V),
#0, v) = au & 2 — (V -f V),
où a est un nombre réel. Suivant que a est négatif, positif ou nul,.,
on se trouve dans le cas elliptique, dans le cas hyperbolique ou dans
le cas parabolique. Dans le cas parabolique, il faut, avant de passer
à la limite a = 0, prendre
k-
y«
c désignant un nombre fini arbitrairement fixé.
C. Formes de rang trois. Quand on convient de ne pas envisager
de variétés à plus de trois dimensions, on donne à la forme de rang
trois le nom d'espace.
On distingue d’ailleurs l'espace ponctuel et l’espace tangentiel.
Si l’on envisageait des variétés de plus de trois dimensions, l’étude
des formes de rang trois serait d’ailleurs toute semblable à celle dont
nous allons nous occuper.
Dans l’espace (ponctuel ou tangentiel) l’absolu est constitué par
une quadrique arbitrairement fixée.
