30, Détermination métrique générale de Cayley. 105 1 
Si l’on se borne au cas où la détermination métrique, dans le 
faisceau de plans, est elliptique, les formules et la discussion de tous 
les cas qui peuvent se présenter sont entièrement semblables aux for 
mules et à la discussion convenant aux formes de rang deux. 
Dans l’espace (ponctuel ou tangentiel) on distingue encore trois 
cas: le cas elliptique qui correspond aux hypothèses de B. Riemann, 
le cas hyperbolique qui correspond aux hypothèses de Bolyai-Loba- 
cefshij, et le cas parabolique qui correspond au postulat d’Euclide. 
Dans le cas elliptique, la surface absolue est une quadrique ima 
ginaire fixée arbitrairement. 
Dans le cas hyperbolique, la surface absolue est une quadrique 
réelle autre qu’une surface réglée; pour les relations métriques, on 
n’envisage que les points intérieurs à cette quadrique. 
Dans le cas parabolique, la surface absolue dégénère en une 
conique imaginaire dont le plan joue le rôle que joue le plan de 
l’infini dans la géométrie projective ordinaire. 
Dans le cas elliptique il n’y a naturellement pas de parallèles au 
sens ordinaire du mot. Mais il convient de faire ressortir que 
W. K. Clifford a élargi la définition ordinaire des parallèles et que, si 
l’on prend ce mot dans le sens qu’il lui a attribué, on peut, par 
chaque point de l’espace, mener deux parallèles à une droite donnée; 
chacune de ces deux parallèles et la droite donnée ne sont toutefois 
pas dans un plan: elles forment une paire de droites gauches. De ce 
fait on déduit diverses conséquences remarquables 342 ). 
Dans les cas non-euclidiens, aux mouvements dans le plan et 
dans l’espace correspondent des homographies laissant invariable la 
forme absolue. 
Au lieu de déduire de la géométrie projective les diverses géo 
métries métriques des formes de rang un, deux ou trois, en choisis 
sant dans chaque cas un „absolu“ convenable (qui se trouve être 
toujours du second degré), on peut se proposer de construire tout au 
contraire la géométrie projective des formes de rang un, deux ou trois 
en partant de la géométrie métrique des formes de mêmes rangs. 
Pour la géométrie elliptique, il n’y a aucune difficulté. Pour la 
géométrie parabolique, il suffit d’adjoindre aux points effectifs les 
points à l’infini constituant un plan, le plan de l’infini, et de faire au 
sujet de ce plan de l’infini les conventions usuelles. Pour la géomé- 
342) Voir W. K. Clifford [Proc. London math. Soc. (1) 4 (1871/3), p. 381/95; 
(1) 7 (1875/6), p. 67/70; Papers, Londres 1882, p. 181, 236; voir aussi Papers, 
p. 378, 385, 402] et F. Klein [Math. Ann. 87 (1890), p. 544].