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31. Remarques diverses sur les déterminations métriques projectives. Ю7 
une surface simplement connexe (c’est-à-dire telle que chaque ligne 
fermée la partage en deux parties) et bilatérale, c’est-à-dire telle que 
en chaque point A on puisse distinguer deux sens de rotation ne 
pouvant être ramenés l’un à l’autre par translation du point A le 
long de cette surface; ces deux sens de rotation sont identiques aux 
deux sens suivant lesquels on peut disposer, conformément aux fonde 
ments de la géométrie projective, les points de la conique ou de la 
droite limitée qui constituent l'absolu. 
Dans le cas elliptique, la droite est une ligne fermée. Le plan 
(il s’agit du plan projectif dans sa totalité) n’est divisé en parties 
distinctes que si l’on effectue une coupure le long de deux droites 
illimitées. Le plan est une surface unilatérale, c’est-à-dire telle qu’on 
n’y distingue plus autour d’un point A deux sens de rotation; ces 
deux sens peuvent en effet être ramenés l’un à l’autre par un mouve 
ment du point A le long de la surface. On peut le vérifier 345 ) en se 
reportant à la gerbe qui fournit une image précise du plan elliptique. 
11 est d’ailleurs très difficile de se figurer intuitivement un plan 
elliptique. 
Les différences de connexion du plan que nous venons de signaler 
apparaissent clairement si l’on envisage l’image d’une quadrique non 
réglée Q obtenue en projetant d’un centre A la quadrique Q sur un 
plan P ne contenant pas A. Le contour de l’image de Q sur P est une 
conique G qui est réelle, imaginaire ou dégénérée en un couple de 
points imaginaires situés sur une droite réelle, suivant que A a été 
choisi extérieur à Q, intérieur à Q ou sur la surface Q. Si l’on fixe dans 
le plan P à l’intérieur de la conique C une détermination métrique 
de Cayley en prenant pour absolu la conique G elle-même, et si, en 
projetant du même centre A les points du plan, on reporte ensuite 
cette géométrie métrique sur la quadrique Q, on obtient une géométrie 
métrique déterminée sur cette quadrique Q. 
La section S de la quadrique Q et du plan polaire a du point A 
est l’image de G et joue le rôle du lieu des points à l’infini dans le 
plan ordinaire. 
Si le point A est extérieur à la quadrique Q, la section S est 
une conique réelle; si le point A est intérieur à la quadrique Q, la 
section S est une courbe imaginaire. Si A est sur la quadrique Q, la 
section S se réduit à un point. 
Comme image du plan hyperbolique, on obtient ainsi une calotte 
simplement connexe de la quadrique Q; comme image du plan para 
345) Voir F. Klein, Nicht-Euklidische Geom, si0 ) 1, p. 98 et suiv.