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III 1. F. Enriques. Métrique projective. 
bolique, on obtient la surface de la quadrique à l’exception d’un point 
de cette surface supposé enlevé [au sens de l’analysis situs (III 6), 
cette surface est simplement connexe]. Comme image du plan elliptique,, 
on obtient la surface totale de la quadrique; toutefois la correspon 
dance entre le plan elliptique et la surface de la quadrique n’est pas 
biunivoque: elle n’est univoque que dans un sens, car, si à chaque 
point de la surface de la quadrique correspond un point du plan, à 
chaque point B du plan correspondent deux points de la surface de 
la quadrique situés en ligne droite avec le centre de projection A (du 
plan elliptique). 
Cette image du plan elliptique est particulièrement suggestive 
quand on prend pour quadrique une sphère et pour centre de pro 
jection A le centre de cette sphère. La géométrie métrique elliptique 
que l’on transporte par projection du plan sur la sphère n’est alors 
que la géométrie métrique ordinaire de la sphère 346 ). Deux lignes 
géodésiques (c’est-à-dire deux grands cercles) se coupent ici en deux 
antipodes; par deux antipodes passent une infinité de lignes géodé 
siques de la sphère [n° 16]. 
Indépendamment de son importance comme image des diverses 
géométries planes, la détermination métrique ainsi obtenue par pro 
jection sur la quadrique envisagée est d’ailleurs fort remarquable en 
elle-même. 
Prenons, pour simplifier, comme quadrique la sphère, comme plan a 
de la conique absolue, le plan de l’un des grands cercles de la sphère 
(nous le désignerons sous le nom de plan équatorial) et pour centre 
de projection A le point à l’infini du diamètre prolongé de la sphère 
perpendiculaire à a. 
La géométrie hyperbolique que l’on peut fonder dans le plan 
équatorial a en prenant la circonférence (a) du cercle équatorial 
comme conique absolue a pour image sur la sphère une géométrie 
dans laquelle les lignes droites (d) de la géométrie hyperbolique sont 
remplacées par des demi-circonférences de cercle (c) perpendiculaires 
au plan équatorial a et les angles non-euclidiens formés par les 
droites (d) par les angles sphériques ordinaires que font entre eux 
ces demi-cercles (c). 
D’un point P de (a) comme centre projetons ensuite stéréo- 
graphiquement [par exemple sur le plan du grand cercle ayant P 
pour pôle] la sphère et la détermination métrique qu’on vient d’ob 
tenir sur elle; l’image de la circonférence de l’équateur support des 
346) Voir F. Klein, Progr. Erlangen 1872, p. 46 (note VI); réimpr. Math. 
Ann. 43 (1893), p. 63/100.