2. Objet de la géométrie. 
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actuelle, + qui datent au moins du quatrième siècle de notre ère 8 )*, 
ont donné lieu à de longues discussions depuis l’antiquité jusqu’à 
nos jours 9 ). C’est surtout sur le cinquième postulat (le postulat des 
parallèles) que se sont portés les plus grands efforts critiques 10 ). 
Jusqu’à la fin du 18 ième siècle on a, en général, accepté sans 
conteste les principes de la géométrie euclidienne 11 ). ^Depuis le com 
mencement du 19 ièmo siècle on a, peu à peu, substitué à cette façon 
de voir plusieurs conceptions critiques; ces conceptions sont d’ailleurs 
bien différentes les unes des autres.* 
Les progrès de la critique moderne portent d’une part sur Vobjet 
de la géométrie, d’autre part sur la forme logique du développement 
de cette science. 
2, Objet de la géométrie. En ce qui concerne l’objet de la 
géométrie, on est amené à distinguer: 
I o ) l’espace intuitif habituel, c’est-à-dire la représentation de l’espace 
telle que notre esprit le conçoit; 
2°) l’espace physique dont les propriétés nous sont données par 
l’expérience; 
3°) les espaces abstraits, c’est-à-dire les conceptions plus générales 
que nous pouvons déduire de l’espace intuitif ordinaire par abstraction 
ou généralisation. 
C’est la géométrie non-euclidienne, établie entre 1815 et 1830 
par C. F. Gauss, J. Bolyai, N. I. Lobacevskij, qui conduisit à cette idée 
nouvelle et remarquable que l’espace physique pourrait être différent 
de l’image que nous en fournit notre intuition habituelle. 
Toutefois à cette époque, en dehors de la géométrie euclidienne, 
une seule géométrie semblait possible: elle ne devait différer de celle 
à’Euclide que par son indépendance du postulat des parallèles. C’est 
en lui donnant ce sens précis qu’on parlait alors d’une géométrie absolue. 
B. Biemann 12 ) élargit ce point de vue dans sa célèbre Thèse 
sur les hypothèses qui servent de base à la géométrie, soutenue à Gôt- 
8) ^Presque tous les manuscrits des „Elementa“ que l’on possède aujourd’hui 
contiennent la rédaction due à Théon d’Alexandrie.* 
9) + Au sujet des interpolations les plus anciennes concernant la partie des 
„Elementa“ dont il s’agit ici, voir aussi T. L. Heath, The thirteen hooks of 
Euclid’s Eléments 1, Cambridge Í908, p. 50/1, 61/8 (Notes 8 et 9 de G. Enestrôm).* 
10) Voir en particulier n° 14. 
11) Au 19 ièm0 giède encore, plusieurs géomètres, parmi lesquels il faut citer 
en particulier A. Cayley, sont d’ailleurs restés fidèles à ce point de vue dogma 
tique. 
12) Über die Hypothesen welche der Géométrie zu Grande liegen [Habili 
tation s s chrift, Gôttingue 1854; Abh. Ges. Gôtt. 13 (1866/7), éd. 1868, math. 
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