33. Géométrie sur une surface courbe. 
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à u et à «); sans que la forme concrète de la surface joue aucun rôle. 
Dans la variété abstraite (u, v) l’expression „courbure“ perd la signi 
fication intuitive qui résulterait pour une surface de la définition même 
que C. F. Gauss donnait à k- la quantité k n’est plus qu’un invariant 
différentiel formé par E, F, G et les dérivées de E, F, G, prises par 
rapport à u et v. Cet invariant ne change pas si, dans l’expression 
de ds 2 , on remplace « et u par deux autres variables quelconques. 
Quand on se place à ce point de vue de B. Biemann, on donne en 
core à l’invariant k le nom de courbure; mais pour éviter tout malen 
tendu, on ne dit plus „la courbure de la surface ou de la variété 
abstraite {u, v)“; on dit plutôt la courbure de la détermination métrique 
de cette variété abstraite (u, v). 
Les locutions „courbure du plan hyperbolique“, „courbure du plan 
elliptique“, ou „courbure du plan parabolique“, dont nous avons déjà fait 
usage au n° 31, doivent être entendues ainsi dans ce sens conforme 
au point de vue de B. Biemann. 
On peut aussi se demander s’il est possible d’obtenir, dans la 
géométrie métrique différentielle d’une surface de l’espace ordinaire, 
l’exacte représentation de la géométrie métrique générale du plan 
et plus particulièrement de la géométrie non-euclidienne du plan 
[cf. n° 15]. 
A cet effet, il faut tout d’abord envisager les surfaces qui, 
comme le plan, peuvent se mouvoir librement sur elles-mêmes, de 
façon qu’un point quelconque de la surface vienne en un autre point 
de cette surface arbitrairement fixé à l’avance. Ces surfaces sont 
nécessairement à courbure constante; et inversement il résulte d’un 
théorème de E. F. A. Minding 35v ) que toute surface à courbure cons 
tante peut se mouvoir librement par applicabilité sur elle-même, et 
cela d’une oo 3 de manières [III 32]. 
En distinguant les surfaces à courbure constante d’après la valeur k 
de leur courbure, on obtient 
a. pour k = 0 les surfaces développables, dont la géométrie mé 
trique différentielle équivaut à la géométrie plane euclidienne; 
b. pour k > 0 les surfaces applicables sur une sphère, dont la 
géométrie métrique différentielle équivaut à la géométrie plane ellip 
tique de courbure k [voir n°23a, en particulier la note 183]; 
c. pour k < 0 les surfaces auxquelles on a donné le nom de 
pseudosphériques dont la géométrie métrique différentielle équivaut à 
la géométrie plane hyperbolique de courbure k. * 
351) J. reine angew. Math. 19 (1839), p. 378; 20 (1840), p. 324. 
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