non-analytiques ainsi que l’ont montré G. Lütlcemeyer 356 357 358 359 360 ) et JE. Holm- 
gren 1 
Aucune surface ne peut donc offrir l’image complète du plan 
hyperbolique entier. 
Des remarques analogues aux précédentes s’appliquent à la géo 
métrie des surfaces à courbure constante positive, lorsqu’on envisage 
ces surfaces dans leur totalité. On a déjà remarqué [n° 31] que la 
géométrie sphérique donne, pour ainsi dire, une représentation sura 
bondante de la géométrie du plan elliptique. C’est la gerbe de droites 
et non la sphère qui définit une variété abstraite à deux dimensions 
donnant une image complète et parfaite du plan elliptique. 
Or on démontre que la sphère est, dans Vespace ordinaire euclidien, 
la seule surface fermée à courbure constante positive. Ce théorème a 
été récemment établi à nouveau dans le cas des surfaces analytiques 
par H. Liebmann 358 ), et d’autre part G. Lütlcemeyer 359 ) et JE. Holm- 
gren 360 ) ont montré que des surfaces f — 0 à courbure constante 
positive sont, en fait, toujours analytiques, au moins quand la fonction f 
est supposée admettre des dérivées partielles continues du premier, du 
second et du troisième ordre. Aucune de ces surfaces ne peut offrir 
l’image complète du plan elliptique entier. 
34. Détermination métrique de Biemann dans une variété d’une 
dimension quelconque. Les concepts que nous avons développés en 
nous reportant à la géométrie métrique sur une surface, ou plutôt sur 
une variété abstraite à deux dimensions, trouvent leur extension na 
turelle dans la géométrie métrique des variétés à plusieurs dimensions, 
dont JB. Biemann a analysé les principes dans sa dissertation sur les 
hypothèses qui servent de base à la géométrie. 
En partant d’une variété élémentaire à trois dimensions ou, 
plus généralement, d’une variété élémentaire v n à un nombre quelconque 
n de dimensions, dans laquelle on suppose donné un système de co 
ordonnées x x , x 2 ,. . ., x n [cf. n° 22], on peut établir dans cette variété 
356) Diss. Gôttingue 1902. 
357) C. R. Acad. sc. Paris 134 (1902), p. 740/3. 
L’idée des surfaces régulières non analytiques remonte à Chr. Wiener [Lehr- 
bucli der darstellenden Geometrie 2, Leipzig 1887, p. 29] qui a pris en considé 
ration des surfaces non-rectilignes développables envisagées chacune comme la 
limite d’un polyèdre. 
358) Nachr. Ges. Gôtt. 1899, p. 44/65; Math. Ann. 53 (1900), p. 81; 54 (1901), 
p. 505; cf. D. Hilbert, Grundlagen 27 ), (2 S éd.) p. 172. 
359) Diss. Gôttingue 1902, p. 163. 
360) Math. Ann. 57 (1903), p. 409