35. Variétés homogènes. 
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Voici comment on peut préciser ce concept de l’homogénéité d’une 
variété quelconque v n . Soit P un point de v n , de coordonnées 
/y» /y» /y 
Jy n . 
Envisageons tous les points Q de v n infiniment voisins de P et, parmi 
ces points, fixons-en deux, Q x , Q 2 , arbitrairement; soient 
x x + dx x , x 2 + dx 2 , . .., x n + dx n 
les coordonnées d’un quelconque des points Q, 
x x + d x x x , x 2 + d x x 2 , . . ., x n + d x x n , 
x x d 2 x x , x 2 -\- d 2 x 2 , • • • j x n fi - d 2 x n , 
les coordonnées des deux points Q x et Q 2 arbitrairement fixés. 
Parmi les éléments PQ, envisageons ceux pour lesquels, l et 
g désignant deux paramètres, on a 
dx x = Xd x x x + iid 2 x x , 
dx n = ld x x n + [id 2 x n . 
L’ensemble de ces éléments PQ forme en quelque sorte un élément 
de surface de v n issu de P. 
Les géodésiques issues de P suivant ces éléments PQ forment 
ce que Ton appelle, d’après F. Schur 36h ), une surface géodésique de 
v n passant par le point P. 
B. Riemann dit qu’une variété v n est homogène quand il est 
possible de la faire mouvoir sur elle-même de façon à faire coïncider 
un de ses points P avec un quelconque de ses autres points P' et un 
élément de surface issu de ce point P avec un élément de surface 
arbitrairement fixé parmi ceux issus de P'. De cette définition de 
l’homogénéité il résulte immédiatement que toutes les surfaces géo 
désiques issues de deux points quelconques d’une variété homogène v n 
ont la même courbure h. C’est ce qu’on exprime en disant que la 
variété a une courbure constante. La courbure Je dont il est ici question 
est celle fournie par l’expression analytique que C. F. Gauss 365 366 367 ) a 
donnée pour Je dans le cas d’une surface (n = 2) de l’espace ordinaire, 
généralisée au cas d’une variété d’un nombre quelconque n de dimen 
sions dans un espace à n + 1 dimensions. 
Dans toute variété à courbure constante Je, le carré de l’élément 
linéaire ds s’exprime d’après B. Riemann 867 ) par une expression de 
365) Math. Ann. 27 (1886), p. 546. 
366) Commentât. Soc. sc. Gott. recent. 6 (1823/7), éd, Gottingue 1828, math. 
§ 12 [1827]; Werke 4, Gottingue 1880, p. 236. 
367) Habilitationsschriit 12 ); Abh. Ges. Gott. 13 (1866/7), éd. 1868, math. p. 144; 
Werke, (2° éd.) publ. par H. Weber, Leipzig 1892, p. 282; trad. L. Laugel, Paris 
1898, p. 292.