36. Caractère projectif des variétés à courbure constante. 121 
Inversement, comme l’a montré L. Schlafli 3U ), toute variété, dans 
laquelle serait définie une géométrie métrique différentielle où la géométrie 
projective serait valable en considérant les géodésiques de cette variété 
comme des droites, est nécessairement une variété à courbure constante. 
La détermination métrique d’une variété à courbure constante peut 
aussi toujours être envisagée comme une détermination métrique projective 
de Cayley relative à une surface absolue du deuxième degré. Inversement, 
la détermination métrique établie dans un espace projectif v n par rapport 
à une surface absolue du deuxième degré conduit à une expression qua 
dratique pour le carré ds 2 de l'élément linéaire de v n , de sorte que l'espace 
projectif v n apparaît comme une variété à courbure constante dans la 
quelle les droites sont des lignes géodésiques' 0 ^). 
La correspondance entre les variétés à courbure constante et les 
espaces projectifs métriques devient parfaite si la variété où se trouve 
définie une géométrie métrique différentielle (pour des régions con 
venablement limitées) est telle que deux points y déterminent toujours 
une seule géodésique. Il est d’ailleurs toujours possible de compléter en 
ce sens une variété élémentaire abstraite quelconque par l’introduction 
de points idéaux [n° 241. 
Au caractère projectif des variétés à courbure constante se 
rattachent aussi certaines recherches de F.Schur 3 ' 16 ): cet auteur remarque 
que ce caractère projectif dépend de la propriété fondamentale, que 
possède une surface géodésique, de contenir un nombre oo 2 de lignes 
géodésiques de l’espace (à trois ou à plus de trois dimensions), ce qui 
revient à la propriété fondamentale du plan [n° 8]. En s’appuyant sur 
cette remarque, F. Schur démontre les propriétés suivantes: 
Si dans une variété métrique à n dimensions (où nf>‘à) les sur 
faces géodésiques issues du point F contiennent chacune oo 2 lignes 
géodésiques, la ' variété a une courbure constante relativement à tous les 
éléments de surface issus du point F. 
Si cette propriété a lieu pour les surfaces géodésiques issues de deux 
points F et F' de la variété envisagée, elle a aussi lieu pour toutes 
les surfaces géodésiques de cette variété et la variété a une courbure 
constante. * * * 
374) Ann. mat. pura appi. (2) 5 (1871/3), p. 194. 
375) Voir JE. Beltrami S6S ) et F. Klein, Progr. Erlangen 1872; réimpr. Math. 
Ann. 43 (1893), p. 63/100. 
376) Math. Ann. 27 (1886), p. 537. Voir aussi: L. Bianchi, Atti R. Accad. 
Lincei JRendic. mat. (5) 111 (1902), p. 265. A propos d’une démonstration géo 
métrique des mêmes résultats, voir F. Enriques, Eendic. Accad. Bologna (2) 7 
(1902/3), p. 52; L. Bianchi, Lezioni di geom. diff., (2 e éd.) 1, Pise 1902, p. 349 (§ 161).