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III 1. F. Emiques. Principes de la métrique générale.
métrie euclidienne, et par E. Schering 381 382 ) et P. Mansion 383 384 385 ) pour la
géométrie non-euclidienne, ont conduit, dans le cas de cinq points,
à deux expressions particulières ’P’* et W 2 de la fonction
= (1 2 3 4 5)
qui se" présentent toutes les deux sous la forme d’un déterminant.
De®ces"deux expressions particulières de
!P-(12345)
on peut, inversement, déduire l’expression de la distance dans la géo
métrie euclidienne et non-euclidienne, si, outre les deux conditions
essentielles (a) et (b), on tient compte d’une troisième condition (c),
à laquelle doit aussi satisfaire la fonction symétrique F ik des coor
données des deux points i et k, condition exprimant la propriété
additive des distances des deux points d’une même droite.
Il faudrait toutefois démontrer que les expressions de la distance
déterminées par et *P* 2 sont, au moins sous certaines conditions de
réalité convenablement choisies, les seules solutions possibles du
problème proposé. Les considérations peu rigoureuses de J. de Tüly
sont à cet égard complètement insuffisantes: on ne saurait en conclure
que d’autres solutions ne sont pas possibles. H. F. Blichfeldt su ) a
d’ailleurs obtenu des expressions de relations possibles entre les
distances qui ne sont pas contenues dans les formules de J. de Tüly.
38. Systèmes géométriques de Minkowski-Hilbert. Certaines
recbercbes de H. Minkowski et 1). Hilbert, qui ont aussi comme point
de départ l’expression de la distance finie entre deux points d’une
variété donnée, conduisent à des systèmes géométriques plus généraux
que les précédents dont la métrique comprend comme cas particulier
la métrique ordinaire euclidienne et non-euclidienne.
Soient (x 1} y 1} ¿J, (x 2 , y 2 , # 2 ) les coordonnées cartésiennes ordinaires
de deux points de l’espace.
H. Minkowski 885 ) prend comme expression de la distance entre
ces deux points une fonction
& Ol - ^2; Vl - y2> ¿1 - **),
381) Nouv. Mém. Acad. Berlin 4 (1773), éd. 1775, p. 149; Œuvres 3, Paris
1869, p. 661.
382) E. Schering, Nachr. Ges. Gott. 1870, p. 317; 1873, p. 13, 149; Werke 1,
Berlin 1902, p. 160, 169, 177.
383) P. Mansion, Ann. Soc. scient. Bruxelles 13 1 (1888/9), p. 57; 16 1 (1890/1),
p. 8; 16 1 (1891/2), p. 51.
384) Trans. Amer. math. Soc. 3 (1902), p. 467.
385) Geometrie der Zahlen, Leipzig 1910, p. 1 [1896].