38. Systèmes géométriques de Minkowski-Hilbert. 
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homogène du premier degré en x x — x 2 , y x — y%, z x — z 2 , de sorte 
que, quel que soit le paramètre t, 
il (tx x — tx 2 , ty x — ty 2 , tz x — tzf) = tsi (x x — x 2 , y x — y 2 , z x — z 2 ), 
et telle que, en fixant x 2 , y 2 , z 2 et envisageant x x , y x , z x comme des 
coordonnées courantes, l’équation 
il = 0 
représente une surface non-concave. La fonction il envisagée est, en 
général, une fonction transcendante de x x , y x , z x , x a , y 2 , z 2 . 
On obtient ainsi une géométrie métrique conventionnelle, com 
patible avec la géométrie projective, en ce sens que les droites sont les 
lignes de longueur minimée. Dans cette géométrie de H. Minlcowski 
il n’y a que oo 3 mouvements qui ne sont autres que les oo 3 trans 
lations de Lespace. Cette géométrie renferme comme cas particulier 
la géométrie ordinaire euclidienne. 
D. Hilbert m ) a obtenu des résultats d’un caractère plus général en 
se proposant de résoudre le problème inverse: 
Déterminer toutes les métriques possibles de l’espace dans lesquelles 
les droites sont des lignes de longueur minimée et ont en outre une 
longueur infinie. 
Il montre que de telles métriques peuvent s’établir dans l’espace 
projectif en prenant comme absolu une surface fermée non-concave et 
comme expression de la distance de deux points A, JB, intérieurs à 
celle-ci, Vexpression 
clog e (ABMN), 
où M, N désignent les points d’intersection de la droite indéfinie qui 
joint les deux point A et B avec la surface absolue et où c est 
une constante; (ABMN) désigne le rapport anbarmonique des quatre 
points A, B, M, N. La métrique de D. Hilbert est identique à la 
détermination métrique hyperbolique, si l’on prend comme absolu une 
quadrique réelle qui ne soit pas réglée. 
La métrique de H. Minlcowski peut être envisagée comme le cas 
limite de celle de D. Hilbert correspondant au cas où l’absolu dégénère 
en un plan double à l’infini. 
Dans la métrique générale de D. Hilbert, aucun mouvement n’est 
possible. 
Le système géométrique de D. Hilbert peut être lui-même généralisé 
de nouveau de diverses façons, en abandonnant l’une ou l’autre des * 
386) Math. Ann. 46 (1895), p. 91.