39. Postulats de Helmholtz. 
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III. Postulat concernant la liberté des mouvements. 
Si, dans un solide (rigide), on choisit arbitrairement un point 
P 1} ce point est entièrement libre de se mouvoir dans toutes les 
directions. Si, ayant fixé P x , on choisit ensuite arbitrairement dans 
le solide un second point P 2 , la rigidité du corps implique une équation 
entre les coordonnées de P 2 et celles de P x . Si, ayant fixé P x et ** 
on choisit ensuite arbitrairement un troisième point P 3 , la rigidité 
du corps implique deux équations entre les coordonnées de P 3 et 
celles de P x et P 2 , et ainsi de suite. 
Pour que chaque point du corps solide soit entièrement fixé 
dans l’espace à n dimensions, il faut et il suffit que l’on fixe n points 
de ce solide; entre les coordonnées de ces n points, on a 
l + 8 + ... + »-ïiü±« 
équations de conditions. 
IY. Postulat concernant la connexion entre rotation et identité, ou 
postulat de monodromie. 
On admet que dans l’espace à n dimensions une rotation com 
plète autour de w — 1 points fixés d’une façon générale (en évitant cer 
taines positions particulières) fait coïncider identiquement avec lui- 
même un corps solide; dans ce mouvement de rotation, la ligne circu 
laire décrite par un point quelconque du solide est fermée. 
En s’appuyant sur ces quatre postulats, H. von Helmholtz parvient 
à l’expression du carré c/s 2 de l’élément linéaire donnée par B. Biemann. 
Hvon Helmholtz croyait avoir prouvé que ses quatre postulats 
sont indépendants les uns des autres et peuvent donc servir à carac 
tériser complètement la géométrie générale, euclidienne ou non-eucli 
dienne, de l’espace. 
Mais aux démonstrations de H. von Helmholtz, S. Lie 391 ) oppose 
plusieurs objections, en particulier l’objection fondamentale: que 
H. von Helmholtz a fait correspondre aux diverses rotations possibles 
autour d’un point fixe P des équations linéaires çntre les dérivées 
premières des coordonnées de P, ce qui n’est pas toujours nécessaire 
ment exact 392 ). 
Il faut aussi remarquer que le postulat de monodromie qui est 
nécessaire pour fonder la géométrie plane, où n = 2, devient superflu 
391) Cf. S. Lie et F. Fngel, Transformationsgruppen 93 ) 3, p. 437. 
392) Il est en eifet possible que dans le groupe de mouvements du corps 
rigide autour de P, il y ait des mouvements pour lesquels les dérivées premières 
des coordonnés de P restent fixes, alors que les dérivées secondes, par exemple, 
ou des dérivées d’ordre supérieur varient.