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III 1. F. Enriques. Principes de la métrique générale. 
dans le cas de l’espace, où n = 3, comme J. de Tilly m ) l’avait soutenu 
déjà avant S. Lie. F. Klein 393 ) a cherché, mais sans y parvenir, 
à mettre ce fait en évidence par des considérations d’un caractère 
intuitif. 
Des résultats obtenus par H. von Hélniholtz subsiste toutefois la 
possibilité de fonder la géométrie générale de l’espace sur les trois 
premiers postulats, pourvu que ces postulats soient regardés comme 
valables pour tous les points d’une région de l’espace 394 ). 
40. Reclierelies de S. Lie 395 ). Yoici sous quelle forme S. Lie 
pose le problème de H. von Helmholtz, dont il parvient à donner deux 
nouvelles solutions. 
Supposons tout d’abord que l’espace soit une variété à trois 
dimensions v 3 , où se trouve fixé un système de coordonnées 
% = Ob V, *)• 
Les mouvements dans l’espace, en tant qu’ils sont composables et 
inversibles, apparaissent comme formant un groupe de transformations 
ponctuelles; cette hypothèse remplace celle que H. von Hélmholtz 
rattache à la notion de congruence, à savoir que la congruence est 
une relation réciproque et que deux figures congruentes à une troisième 
sont congruentes entre elles. Or le problème 396 ) „fixer un système de 
postulats qui soit à la base de la géométrie métrique générale“ se 
ramène à celui de caractériser par des propriétés générales les groupes 
de mouvements des géométries euclidienne et non-euclidienne, en les 
distinguant de tous les groupes possibles de transformation d’une 
variété v 3 . Il est possible d’y parvenir en faisant des hypothèses se 
rapportant au voisinage infiniment petit de chaque point de la variété 
v 3 , ou bien en posant les postulats convenant à une région finie de 
la variété v 3 . 
Avant d’énoncer les résultats obtenus par S. Lie, établissons d’abord 
la définition suivante: un groupe de transformations dans une variation 
v 3 permet une liberté entière de mouvement infiniment petit autour de 
393) Math. Ann. 37 (1890), p. 544; d’une façon plus précise dans: Höhere 
Geometrie (cours autographié) 2, Leipzig 1893; réimpr. 2, Leipzig 1907, p. 240. 
394) Cf. S. Lie et F. Engel, Transformationsgruppen 93 ) 3, p. 498. 
395) Ber. Ges. Lpz. 38 (1886), math. p. 337; Transformationsgruppen 93 ) 
3, p. 471, 498 (section 6). 
*Voir aussi TF. Killing, Geometrie 77 ) 2, p. 360. Les deux premières publi 
cations de TF". Killing ayant trait à cette question [Über die nicht euklidischen 
Raumformen von w-Dimensionen, Brauneberg 1883; Erweiterung des Raumbegriffes, 
Brauneberg 1884] sont antérieures à celles de S. Lie (Note de F. Schur).* 
396) On laisse ici provisoirement de côté la question des rapports de con 
nexion de l’espace illimité, dont on s’occupera dans le chapitre suivant.