41. Recherches de Poincaré. Sans connaître aucun des résultats 
obtenus par S. Lie, dont le premier mémoire 397 ) est daté du 25 oc 
tobre 1886, H. Poincaré 398 ) s’est proposé de caractériser, au moyen 
de la théorie des groupes, les géométries du plan qui ont pour ab 
solu une forme quadratique au sens de la géométrie projective [cf. 
n° 30]. 
Il est amené à poser le système suivant de postulats: 
1. Le plan est une variété à deux dimensions. 
2. Les mouvements forment dans le plan un groupe réel de trans 
formations, engendré par des transformations infinitésimales et dépendant 
de trois paramètres. 
3. Lorsque, dans le plan, on fixe deux points d’une figure, la figure 
elle-même reste immobile. 
Ce troisième postulat correspond au postulat de monodromie de 
H. von Hélmholtz. Il est conçu de façon qu’on n’exclut pas le cas où, 
d’un point du plan, on peut mener des tangentes réelles à la forme 
quadratique prise pour absolu. Pour que les trois cas, auxquels on a 
donné les noms d’elliptique, d’hyperbolique et de parabolique, soient 
seuls possibles il suffit de postuler par exemple que toutes les droites 
partant d’un même point doivent être congruentes. 
42. Recherches de Hilbert. Dans la classification des groupes 
de transformation, S. Lie et H. Poincaré se bornent à envisager des 
transformations analytiques ou tout au moins des transformations 
pouvant être représentées par des fonctions dérivables, ce qui concorde 
avec la génération des groupes à l’aide des transformations infinitési 
males représentées analytiquement comme le fait S. Lie dans sa 
théorie des groupes. Or on ne voit pas bien si cette restriction 
ajoute ou non des hypothèses aux postulats de la géométrie qu’il s’agit 
de caractériser 399 400 ). 
D. HilberP°°) a cherché à éclaircir cette question; après avoir 
posé les hypothèses qui caractérisent le plan comme variété à deux 
dimensions dans laquelle on puisse fixer un système de coordonnées, il 
397) S. Lie, Ber. Ges. Lpz. 38 (1886), math. p. 342 ; cf. Über die Grundlagen 
der Geometrie [Ber. Ges. Lpz. 42 (1890), math. p. 283]. 
398) Bull. Soc. math. France 15 (1886/7), p. 203. Cf. S. Lie, Transformations- 
gruppen 93 ) 3, p. 437, note 2. 
399) S. Lie [Ber. Ges. Lpz. 38 (1886), math. p. 342] se demande comment 
on peut caractériser les groupes des transformations définissant la géométrie 
euclidienne et non-euclidienne, si l’on abandonne le caractère analytique des 
fonctions considérées. Cf. F. Schur, Math. Ann. 41 (1893), p. 509/38. 
400) Grundlagen 27 )) (2 U éd.) p. 121, Anhang IV.