2. Objet de la géométrie. 
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K. G.Chr.von Staudt. Tels aussi les espaces non-archimédiens 16 17 ) de 
6r. Veronese et de D. Hilbert 11 ). 
Des constructions abstraites comme ces dernières sont sans doute 
surtout intéressantes au point de vue psychologique „et au point de 
vue logique.* Elles servent avant tout, en effet, à établir la valeur 
respective des divers concepts géométriques 18 ) et à jeter la lumière 
sur leur genèse 19 ). 
Enfin ces constructions abstraites permettent d’envisager plus 
largement les différentes géométries en regard d’une géométrie à dé 
veloppement purement formel que nous examinerons plus loin. On arrive 
ainsi à considérer une géométrie quelconque comme un système d’hypo 
thèses que l’on étudie, indépendamment de tout objet physique ou psycho 
logique, en suivant, parmi les conséquences de ce système d’hypothèses, 
celles qui semblent pouvoir présenter quelque intérêt mathématique. 
C’est à ce point de vue que se sont placés, surtout dans leurs 
dernières recherches, D. Hilbert et ceux qui se rattachent à son école 20 ). 
Une des conséquences de cette liberté de construction accordée 
aux géomètres a été de modifier le caractère des jugements que l’on 
portait sur la valeur physique des postulats. 
F. Klein 21 ) et H. Poincaré 22 ) ont fait remarquer que les postulats 
géométriques renferment quelque chose d’arbitraire relativement aux 
données insuffisamment déterminées par l’expérience et l’intuition. Il 
en résulte qu’en géométrie, comme dans toute autre science physique, 
on peut faire un choix entre plusieurs représentations possibles de la 
même réalité. „Ce choix répond, en général, d’après E. Mach, au 
besoin de faire „économie de pensée“.* 
„Allant plus loin, H Poincaré déclare que les postulats de la 
géométrie ne sauraient exprimer des relations physiques, mais qu’ils 
constituent seulement des conventions d’après lesquelles on interprète 
les faits constatés expérimentalement. On en revient ainsi à la thèse 
kantienne qui nie toute réalité à l’espace.* 
16) „Suivant P. Mansion [Ann. Soc. scient. Bruxelles 29 1 (1904/6), p. 200] 
ces constructions abstraites n’appartiennent pas à la géométrie (Note de G.Loria).* 
17) F. Klein insiste beaucoup, dans son enseignement, sur ce caractère des 
espaces supérieurs. Voir surtout, à ce sujet [n 0 “ 46 à 62] ce qui concerne la 
Géométrie non-archimédienne. 
18) Cf. n° 19. 
19) Cf. F. Enriques, Bivista filosofica (Pavia) 4 (1901), p. 171. 
20) Cf. n os 46 à 62. 
21) „Voir par ex. Matb. Ann. 37 (1890), p. 571/2.* 
22) „Voir par ex. Bull. Soc. math. France 15 (1886/7), p. 204; La science 
et l’hypothèse, Paris s. d. [1903], p. 66.*