43. Variétés pouvant se mouvoir tout entières. 
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montre que les groupes de mouvements euclidiens et non-euclidiens du 
plan sont caractérisés, entre tous les groupes de transformations continues 
biunivoques, par les trois postulats suivants: 
I. Les mouvements forment un groupe. 
IL Les mouvements pour lesquels un point reste fixe peuvent amener 
un point quelconque autre que le point fixe en une infinité de positions 
distinctes. 
III. Les mouvements forment un système fermé, au sens de G. Cantor, 
en ce sens que s’il y a, par exemple, des mouvements par lesquels 
on peut amener aussi près que l’on veut d’un groupe de trois points 
donnés A', B', C chaque groupe de trois points situés aussi près que 
l’on veut d’un groupe déterminé de trois points A, B, C, il y a aussi 
nécessairement un mouvement par lequel le groupe de points A, B, C 
lui-même peut être amené à coïncider avec le groupe de points A', B’, C. 
Il peut tout d’abord sembler étrange que ces seules conditions 
suffisent à caractériser le groupe des mouvements entre tous les groupes 
possibles de transformations planes, surtout parce que l’on ne postule 
pas que les mouvements pour lesquels un point reste fixe doivent 
être seulement en nombre oo 1 ; mais il convient de remarquer que 
la condition III a pour effet d’exclure tous les groupes (tels que le 
groupe projectif et le groupe conforme) où il entre, comme cas-limites, 
des transformations dégénérées et par conséquent non bi-univoques. 
Rapports de connexion de l’espace illimité. 
43. Variétés pouvant se mouvoir tout entières. Les recherches 
mentionnées, relatives aux fondements de la géométrie métrique, 
reposent sur ce que l’on prend comme postulats certaines propositions 
révélées immédiatement par l’expérience dans une région de l’espace 
physique accessible aux sens. 
En procédant ainsi, on n’obtient pas toutefois les propriétés de 
Vespace entier. Pour les obtenir il faut adjoindre aux recherches dont 
on vient de parler certaines recherches particulières complémentaires 401 ). 
Si l’on admet que les conclusions auxquelles l’expérience con 
duit relativement à la géométrie de la région observable de l’espace 
s’étendent, aux environs de chaque point de l’espace situé en dehors de 
cette région, à une certaine région convenablement choisie autour de 
ce point, l’espace complet apparaît comme une variété à trois dimen 
sions V 3 à courbure constante et sans points singuliers, telle que, aux 
environs de chacun des points de V 3 , la métrique générale ordinaire 
401) F. Klein, Math. Ann. 37 (1890), p. 544. 
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