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III 1. F. Enriques. Géométrie non-archimédienne. 
W. Killing 416 ) a étudié les diverses formes V 3 de Clifford-Klein à 
courbure constante nulle; ce sont celles qui correspondent à l’espace 
euclidien. 
La détermination des formes V 3 de Clifford-Klein à courbure 
constante négative conduit aux divisions de l’espace hyperbolique en 
polyèdres congruents (divisions que l’on rencontre aussi dans la théorie 
des fonctions automorphes). 
On démontre aussi que toute forme V 3 de Clifford-Klein à cour 
bure constante positive peut s’appliquer entièrement soit sur l’espace 
elliptique, soit sur Vespace sphérique, de façon qu’à chacun des points 
de la forme V 3 corresponde dans cet espace (elliptique ou sphérique 
suivant les cas) un certain nombre entier p de points; deux quelconques 
de ces points qu’on appelle points homologues peuvent être amenés à 
coïncider par une translation de longueur ou Ce dernier ré- 
j. * p p 
sultat s’étend d’ailleurs à toutes les formes V n de Clifford-Klein à 
courbure positive pour lesquelles n est un nombre impair. 
Géométrie non-archimédienne. 
46. Introduction. Dans tout ce qui précède, sauf toutefois aux 
n 08 13, 17, 18, et 20 à 23, on a toujours supposé que la continuité 
envisagée était la continuité ordinaire. Mais on a déjà mentionné à 
plusieurs reprises les recherches contemporaines où l’on s’est préoccupé 
de voir dans quelle mesure cette hypothèse est nécessaire au dé 
veloppement de la géométrie, et aussi dans quelle mesure elle peut 
être déduite d’autres postulats. 
Ces recherches concernent tout particulièrement ce qui, dans la 
notion de continuité, correspond au postulat que l’on désigne sous le 
nom de postulat d’Archimède [n° 7]; elles ont conduit à fonder une 
géométrie non-archimédienne où l’on considère un continuum de type 
supérieur à celui du continuum ordinaire. 
47. Continuum à une dimension de type supérieur. La question 
du postulat archimédien se rattache à celle de l’existence de grandeurs 
infiniment petites (ou infiniment grandes) actuelles qui s’est déjà posée 
dès la fondation de l’analyse infinitésimale. Nier le postulat d’Archi 
mède revient en effet à admettre la possibilité de concevoir un 
segment actuellement infini ou infiniment petit actuellement [n° 7] rela 
tivement à l’unité de mesure adoptée, et par conséquent la possibilité 
de concevoir un nombre actuellement infini ou infiniment petit. 
Les géomètres grecs avaient déjà rencontré une grandeur de cette 
416) Geometrie 77 ) 1, p. 332.