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III 1. E. Enriques. Géométrie non-archimédienne. 
infinitésimale. Aussi les mathématiciens de cette époque ne manquèrent- 
ils pas de s’en occuper. 
Parmi les mathématiciens des 16 ième , 17 iême et 18 ième siècles qui se 
rattachent au point de vue de J. Peletier on peut citer F. Commandino, 
F. Viète, G. Galilée (Galileo Golilei) et J. Wallis; parmi ceux qui se 
rattachent au point de vue de G. Clavius on peut citer Th. Hobbes, 
G. W. Leibniz et I. Newton. 
La critique moderne a écarté de l’analyse mathématique telle 
qu’on la conçoit ordinairement l’infiniment petit actuel, aussi bien que 
Pinfiniment grand actuel, en montrant que l’on peut édifier toute 
l’analyse sans avoir besoin de s’écarter de la considération de quan 
tités satisfaisant au postulat d’Archimède. Mais Pinfiniment petit 
actuel ainsi que Pinfiniment grand actuel apparaissent dans d’autres 
branches des mathématiques. 
1) L’infiniment grand actuel s’impose par exemple lorsqu’on com 
pare la manière plus ou moins rapide avec laquelle diverses fonctions 
variables tendent vers une certaine limite, ce qui amène P. du Bois- 
Reymond à introduire divers ordres d'infini [I 3, n° 33]. 
2) Il apparaît aussi dans la théorie des ensembles [I 3, n° 17], 
où il a été formulé pour la première fois d’une façon arithmétique 
dans la construction des nombres transfinis de G. Cantor [I 7, 3]. 
En postulant à priori la propriété que les nombres transfinis qu’il 
introduit en arithmétique doivent former un ensemble bien ordonné, 
c’est-à-dire tel que dans chaque sous-groupe des éléments de l’ensemble 
de ces nombres il y ait toujours un premier élément (plus petit que 
tous les autres), G. Cantor est forcément conduit à renoncer à im 
poser aux nouveaux nombres toutes les propriétés formelles des opé 
rations arithmétiques auxquelles satisfont l’ensemble des nombres ordi 
naires. De là résulte que les nombres transfinis de G. Cantor ne forment 
pas un système non-arcbimédien; car tout système non-arcbimédien 
pris au sens abstrait peut être envisagé comme une „droite“ dans 
laquelle les postulats ordinaires de congruence ont lieu. 
48. Nombres non-archimédiens de Veronese et de Hilbert. 
Dans ses recherches géométriques ayant pour objet l’étude des postu 
lats sur lesquels repose la notion de „ligne droite“, G. Veronese 426 ) 
est parvenu à montrer la possibilité d’une géométrie non-archimédienne 
satisfaisant à tous les postulats de la disposition et de la congruence, 
mais pour laquelle la continuité ne s’applique qu’au sens restreint de 
G. Cantor [cf. n° 13]. Partant de là, il est parvenu à construire un 
426) Fondamenti 26 ), en partie, p. 257 et p. 262.