49. Résultats généraux de Veronese. 
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système de nombres non-archimédiens pour lequel subsistent les pro 
priétés formelles des opérations arithmétiques auxquelles satisfont l’en 
semble des nombres ordinaires. 
T. Levi-Civita 427 ) a ensuite débarrassé cette construction de 
G. Veronese de son enveloppe géométrique et a même obtenu un 
système de nombres non-archimédiens, qu’il a appelés monosemii, re 
présentant des nombres d’un caractère encore plus général que ceux 
de G. Veronese. 
JD. Hilbert^) est parvenu par un autre procédé à un système 
spécial de nombres non-archimédiens. 
Il considère un corps de fonctions Sl{t) dans lequel figurent comme 
éléments toutes les fonctions rationnelles de t et de |/l + or, où co 
est une fonctions rationnelle de t et de t 2 . 
Dans ce corps la somme et le produit des éléments sont définis 
comme d’habitude, c’est-à-dire de telle façon que les propriétés formelles 
des opérations de l’arithmétique des nombres ordinaires s’appliquent. 
L’inégalité de deux éléments a, h de iî(f) peut alors être définie, 
en prenant 
a > h, 
quand la différence a — b est positive pour une valeur t 0 de t suffi 
samment grande et pour toutes les valeurs de t > t 0 . 
S’il en est ainsi on peut considérer les éléments de £l(t) comme 
les nombres d’un système non-archimédien particulier. 
A. Bindoni 429 ) a cherché à établir un parallèle entre les nombres 
non-archimédiens de D. Hilbert et ceux de G. Veronese. En particulier 
il met en évidence la tendance de G. Veronese à envisager parmi les 
systèmes d’éléments satisfaisant à certaines propriétés données les 
systèmes les plus étendus possibles, et la tendance opposée de 
JD. Hilbert d’envisager plutôt les systèmes les plus restreints possibles 
parmi ceux qui satisfont aux propriétés données. 
49. Résultats généraux de Veronese. G. Veronese ne s’est pas 
borné à montrer la possibilité d’un continuum non-archimédien à une 
dimension; il a cherché à édifier une géométrie non-archimédienne à 
plusieurs dimensions. L’idée directrice de ses recherches paraît être 
que l’espace intuitif à n dimensions est doué d’un certain ensemble 
de propriétés grâce auxquelles il peut être construit de la façon sui 
vante: en projetant une droite (espace à une dimension) par un point 
427) Atti Ist. Veneto (7) 4 (1892/3), p. 1765/815. 
428) Grundlagen 27 ), (2 U éd.) p. 22. 
429) Atti R. Accad. Lincei Bendic. mat. (5) 11II (1902), p. 205.