142 III 1. F. Enriques. Géométrie non-arehimédienne. 
lèles i3s ), sans avoir recours ni au postulat de la continuité ni au postulat 
d’Archimède. 
La géométrie projective analytique peut être développée, sans avoir 
recours au postulat d’Archimède, en s’appuyant: 
d’une part, sur les développements récents concernant la théorie 
des proportions [cf. n° 18], dont la connexion avec le théorème fonda 
mental de la projectivité (au sens restreint) apparaît dans la démons 
tration de ce théorème fondée sur l’invariance par projection du 
rapport anharmonique; 
d’autre part, sur l’introduction des coordonnées sans faire usage 
d’un procédé de mesure, en d’autres termes sur le calcul des tétrades 
(Würfen) de K. G. Chr. von Staudt [cf. III 8] et sur les développements 
de H. HanJtel et F. Schur concernant le calcul par segments en géo 
métrie projective. 
JD. Hilbert part d’un calcul par segments basé sur le théorème 
de Desargues et met en lumière le rôle du théorème de Pappus 
en montrant son équivalence avec la commutativité de la multipli 
cation. 
Comme, en se plaçant au point de vue arithmétique, on peut 
définir un système de nombres non-archimédiens pour lesquels la 
multiplication n’est pas commutative, on peut donc conclure avec 
JD. Hilbert que le théorème de Pappus ne peut être démontré à l’aide 
des postulats projectifs de Vespace sans faire usage des postulats de la 
continuité et de la congruence. 
On voit ainsi qu’il existe un système abstrait géométrique non- 
pappusien ou, comme dit JD. Hilbert > un système non-pascalien, auquel 
s’appliquent les propriétés fondamentales de la disposition et de 
l’appartenance. 
Il semble que l’on puisse caractériser le lien du postulat de la 
congruence et du théorème fondamental de la projectivité de la ma 
nière suivante; par des projections et sections successives en partant 
d’une droite et en aboutissant finalement à cette même droite, ou 
encore en partant d’un plan et en aboutissant finalement à ce même 
plan, on obtient sur la droite envisagée, ou sur le plan envisagé, une 
projectivité; le théorème fondamental nous apprend que la suite de 
projectivités que l’on peut ainsi former constitue un groupe dépendant 
d’un nombre fini de paramètres (pour la droite ce nombre est égal 
436) G. Hessenherg [Math. Ann. 61 (1905), p. 161/72] et J. Hjelmslev [Math. 
Ann. 64 (1907), p. 449/74] ont démontré le même théorème sans faire usage du 
postulat des parallèles et sans quitter le plan.