61. Géométrie euclidienne non-archimédienne. 
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à trois). Ce fait semble être mie conséquence de ce que les postulats 
de la congruence impliquent déjà que la suite de projectivités envi 
sagées contient un sous-groupe fermé contenant un seul paramètre. 
Comme le remarque B. Levi 437 ), les postulats de la congruence 
dans la géométrie non-euclidienne nous permettent de déterminer dans 
le plan une certaine polarité alors que dans la géométrie euclidienne 
ils nous font connaître une polarité (à savoir la polarité orthogonale) 
dans la gerbe de droites ou de plans. On peut démontrer le théorème 
de la projectivité dans le plan ou dans la gerbe sans faire usage des 
postulats de la continuité, en ayant seulement soin d’adjoindre aux 
postulats descriptifs de l’espace un postulat affirmant l’existence 
d’une polarité à l’intérieur de la forme donnée de rang deux (plan 
ou gerbe). 
51. Géométrie euclidienne non-archimédienne. Les nombres 
fonctionnels de B. Hilbert [n° 47 j peuvent être considérés comme coor 
données de „points“ d’un espace non-archimédien ; qui satisfait à tous 
les postulats de l’appartenance, de la disposition et de la congruence, 
ainsi qu’au postulat des parallèles. 
On obtient ainsi une géométrie euclidienne non-archimédienne par 
ticulièrement simple. JD. Hilbert a étudié les théorèmes fondamentaux 
de cette géométrie dans leurs rapports d’une part avec la notion d’aire 
et d’autre part avec les théorèmes fondamentaux de la géométrie 
métrique plane 438 ): 
a) Comme on l’a dit au n° 17, on peut obtenir une mesure de 
surface indépendamment du postulat d’Archimède, si l’on convient 
d’envisager comme équivalents (c’est-à-dire de même aire), non seule 
ment deux polygones P et P' pouvant être décomposés en un nombre 
fini de polygones congruents, en sorte que 
P=P 1 +P 2 + .-- + P„, 
p' = p/+ p 2 '+ • • • + p; 
(où pour * == 1, 2, ..., n, P[ est congruent à Pi), mais aussi deux 
polygones P et P' pouvant être décomposés en un nombre infini de 
polygones congruents. 
/3) Le postulat III 7 du n° 11 se rapporte à la congruence des 
triangles dans lesquels deux côtés et l’angle compris sont respective 
ment congruents; la congruence est directe quand le sens des angles 
437) Memorie Accad. Torino (2) 54 (1904), p. 283. 
438) Proc. London math. Soc. (1) 35 (1902/3), p. 50; Grundlagen 27 ), Anhang II.