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III 1. F. Fnriques. Géométrie non-archimédienne. 
congruents est le même; elle est inverse dans le cas contraire; le 
postulat est satisfait dans les deux cas. 
La vérification de ce postulat a un caractère expérimental et, 
dans le cas de congruence inverse, un rabattement de la figure plane 
autour d’une droite du plan (rabattement pendant lequel la figure 
quitte le plan) est nécessaire. Sans quitter le plan des deux triangles, 
on ne peut reconnaître s’ils sont congruents ou non que lorsque les 
angles égaux sont de même sens; ainsi donc on est amené à remplacer 
le postulat III 7 par un postulat sur la congruence au sens restreint 
concernant les triangles. 
Bornons-nous toujours au cas des figures planes. Si, dans ce cas, 
on pose les postulats ordinaires de Vappartenance et des parallèles, de la 
disposition et de la congruence [cf. a, /3, y des n os 9, 10,11], en convenant 
de restreindre ce dernier au postulat de la congruence de triangles directe 
ment congruents, on peut démontrer le postulat de la congruence au sens 
le plus étendu en adjoignant aux autres postulats : 
a) le postulat cf Archimède, 
b) le postulat du voisinage. 
Ce dernier consiste en ce que à tout segment AB correspond un triangle 
à Vintérieur duquel n’existe aucun segment congruent à AB. 
Mais si Von fait abstraction du postulat d’Archimède on ne peut 
démontrer le théorème sur la congruence des triangles dans le sens le 
plus étendu. Cela résulte de ce qu’il existe un système géométrique 
qui satisfait aux postulats cités, mais où les angles à la base d’un 
triangle isocèle ne sont pas égaux. D. Hilbert a donné à ce système 
le nom de système non-pythagorien. 
D. Hilbert montre que dans tout système non-pytbagorien: 
a) on peut établir une théorie géométrique des proportions; 
b) on peut démontrer que la somme des surfaces des carrés con 
struits sur les deux côtés d’un triangle rectangle est, par soustraction 
de parties congruentes, égale à la surface du carré construit sur l’hypo 
ténuse de ce triangle rectangle (en sorte que le théorème de Pytha- 
gore s’applique); mais il n’en résulte pas que, si b et c sont les 
longueurs des côtés et a celle de l’hypoténuse, on ait 
a 2 = b 2 + c 2 , 
parce que le principe de Zolt qui sert de fondement à la mesure 
ordinaire des surfaces ne s’applique pas [cf. n° 17]; 
c) on ne peut pas cependant toujours appliquer le théorème que la 
somme de deux côtés d’un triangle est plus grande que le troisième. 
Si cependant on adjoint aux postulats du système non-pythagorien