III la. NOTES 
Sim LA GÉOMÉTRIE NOM-ARCHTMÉDTENNE 
par A. SCHŒNFIiIES (kœniosbbrg). 
1. Caractères spéciaux des nombres de Veronese pouvant 
représenter le continu. Les particularités arithmétiques et la portée 
des nombres transfinis introduits par 6r. Veronese ont été récemment 
étudiées d’une façon approfondie par A. Schœnflies 1 ). Il s’est, à cet 
effet, surtout appuyé sur le résultat obtenu par O. Hôlder 2 ), et dont 
il a déjà été question au n° 7, concernant les conditions nécessaires 
et suffisantes pour que le postulat d’Archimède ait lieu. 
Les nombres de Veronese les plus simples qui puissent se présenter 
sont ceux formés à l’aide d’une unité finie 1 et d’une unité trans 
finie (infiniment petite) cette unité est telle que, pour tout nombre 
fini JV, l’inégalité 
Nt} < 1 
est vérifiée, ce qui est en opposition avec le postulat d’Archimède. Si 
l’on désigne par A et B des nombres ordinaires (pour lesquels le 
postulat d’Archimède est vérifié), l’expression 
A + Brj 
représente le nombre transfini le plus général du type envisagé. 
O. Hôlder a montré que le postulat de continuité de G. Veronese 
[cf. n° 13] appliqué à ces nombres A -j- Br] n’impose une condition 
qu’au coefficient B de r] et non au coefficient A de 1 ; cette condition 
est que les nombres B qui figurent dans l’expression A -f Btj doivent 
être nécessairement continus au sens de B. Dedekind. 
Il en est de même de tout système de nombres transfinis qui 
est formé à l’aide d’un nombre fini d’unités infiniment grandes ou in- 
1) Jahresb. deutsch. Math.-Ver. 15 (1906), p. 26. 
2) Ber. Ges. Lpz. 53 (1901), math. p. 1.