1. Nécessité d’une explication précise. 
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d’une ligne par une équation entre les coordonnées sans jamais dire 
expressément quelle définition on adopte pour le mot „ligne“ 6 ). La 
même lacune existe dans les traités d’analyse.* 
Cependant, depuis un petit nombre d’années, le souci de la rigueur 
logique a amené une révision approfondie des principes de la géométrie. 
Dans l’article III 1 de l’Encyclopédie, F. Fnriques indique les résultats 
obtenus dans cette voie; il suffit de rappeller ici les noms de M. Posch, 
G. Feano, I). Hilbert, F. ScJiur, H. Poincaré'. La conclusion qui rallie le 
plus grand nombre consiste à n’admettre comme notions fondamentales 
que celles de point, de ligne droite et de plan, en les considérant comme 
résultant par abstraction de l’observation directe, et à exiger dès lors 
pour toutes les autres notions géométriques une explication conforme 
aux règles de la logique. Il en est ou il doit en être notamment ainsi 
pour les notions de ligne et de surface. La chose est d’autant plus néces 
saire qu’on peut prendre ces mots dans une acception plus ou moins 
large et que certains théorèmes de géométrie ne sont vrais que si le 
sens des mots ligne et surface est suffisamment étroit 7 ). Si l’on voulait, 
d’ailleurs, considérer les notions de ligne et de surface comme résultant 
de l’observation, on se heurterait infailliblement dans certains cas, 
suivant F. Emiques, à des difficultés; car si l’on rencontrait une ligne 
définie par un procédé purement mathématique, géométrique ou ana 
lytique, on ne pourrait éviter de voir se poser la question suivante: dans 
quelle mesure y a-t-il identité entre les données de l’observation et 
les conséquences qui découlent de l’explication mathématique. 
+ I1 n’est pas douteux que, de même qu’il existe une mécanique 
rationnelle et une mécanique appliquée, il y a aussi une géométrie 
rationnelle et une géométrie appliquée. La première choisit ses postulats 
comme elle le veut et les développe par les ressources de la raison. 
On a le droit de ranger parmi ces postulats l’existence de la ligne 
en lui attribuant telle ou telle propriété. Mais alors une difficulté se 
présentera quand on voudra démontrer qu’une droite, un cercle, sont 
des lignes.* 
+ Quant à la géométrie appliquée qui n’est pas en cause ici, elle 
impose seulement à la géométrie rationnelle de ne pas choisir ses 
postulats de façon trop arbitraire, en sorte que les résultats de celle-ci 
soient immédiatement utilisables en pratique. Par exemple, elle exige 
6) *Yoir par exemple, Ch. A. A. Briot et J. C. Bouquet, Leçons de géométrie 
analytique, (16 e éd.) revue et annotée par P. Appell, Paris 1897, p. 5.* 
7) On trouve déjà dans Ch. Dupin [Développements de géométrie, Paris 
1813, p. 59] l’indication à la fois de la nécessité d’une explication du mot 
„surface“ et des difficultés que cette explication soulève.