8, Notion géométrique de ligne. 
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borner à ne considérer que des lignes brisées formées de plusieurs 
segments dont chacun a un point commun avec le suivant. En 
d’autres termes, on peut encore éviter de parler de la ligne en gé 
néral, et cet exemple suffira à faire comprendre qu’il en est de même 
pour les autres propriétés énumérées plus haut et pour les lignes 
usuelles* 
^D’ailleurs, si l’on se demande maintenant, pour chacune de ces 
propriétés, si elles sont caractéristiques de la ligne, on constatera qu’il 
n’en est rien. On a vu [II 2, 14] que des ensembles ne répondant 
nullement à la notion vulgaire de ligne jouissent de bien des propriétés 
qui paraissent au premier abord n’appartenir qu’à celle-ci* 
+ Ce qui précède montre qu’une définition de la ligne n’est pas 
indispensable pour bâtir sur des bases solides la géométrie ordinaire. 
Mpis ces réserves nécessaires une fois faites, nous allons essayer de 
donner cette définition, qui seule permettra d’élaborer une théorie 
générale, d’ailleurs encore peu avancée.* 
*G. Cantor 18 ) appelle ensemble continu un ensemble parfait bien 
enchaîné, c’est-à-dire tel qu’on puisse, étant donnés deux points de l’en 
semble, établir entre ces deux points une chaîne de points de l’en 
semble à des distances successives les uns des autres inférieures à 
tout nombre donné 19 ).* 
^Cette définition équivaut à celle-ci: un ensemble continu est un 
ensemble parfait d’un seul tenant, c’est-à-dire non décomposable en 
deux ensembles parfaits 20 ).* 
+ On appelle alors ligne au sens de Cantor ou ligne cantorienne un 
ensemble continu qui ne contient aucun point intérieur. On dit 
qu’un point est un point intérieur si on peut trouver un nombre p 
tel que tout point à une distance inférieure à p du point donné soit 
un point de l’ensemble 21 ).* 
18) *Math. Ann. 21 (1883), p. 545; Acta math. 2 (1883), p. 404. Consulter 
au sujet de ce qui suit l’article II 2, n os 11 à 14.* 
19) *Le but poursuivi par G. Cantor n’était pas tant de définir la ligne au point 
de vue géométrique que de donner une base arithmétique aux recherches d’analyse. 
Dans le texte, on va montrer comment les postulats de la géométrie [cf. III1] 
permettent de donner à la conception de G. Cantor une portée géométrique.* 
20) *Voir au sujet de l’équivalence des deux définitions, outre les mémoires 
de G. Cantor 1 *), C. Jordan, Cours d’Analyse, (3° éd.) 1, Paris 1909, p. 25. Se re 
porter aussi à l’article II 2, n° 12.* 
21) + On écarte les ensemblesTà points intérieurs parce qu’ils donnent des 
aires, ou des domaines à deux dimensions.* 
*Dans les études de G. Cantor, c’est le continu qu’on veut définir, la 
distinction du texte ne joue pas le rôle essentiel. Au contraire, dans l’étude