158 S. von Mangoldt. III 2. Les notions de ligne et de surface. L. Zoretti. 
*Les postulats qui interviennent dans cette définition de la ligne 
sont: la notion de point, d’ensemble de points, la notion de point-limite, 
la notion de distance et la comparaison des distances [III 1, 10].* 
*11 convient de remarquer que la définition de G. Cantor n’est autre 
chose que celle d’Euclide (une ligne est une longueur sans largeur) mais 
présentée avec une précision qui lui manquait [voir III 1, 6 note 82].* 
*La définition précédente n’est pas sans présenter de très grosses 
difficultés. L’extrême complication des lignes cantoriennes laisse peu 
d’espoir d’arriver à démontrer un grand nombre de propriétés qui leur 
soient communes, et l’on est encore peu avancé dans leur étude. On 
peut se proposer, dans le but d’augmenter le nombre de ces propriétés, 
d’ajouter quelques restrictions à cette définition. C’est ce qu’a fait 
L. Zoretti dans des recherches dont il sera question à la fin de ce n° 3 * 
*Une autre question importante est la suivante: cette définition 
est-elle bien conforme à l’idée vulgaire qu’on se fait d’une ligne? 
Commençons par examiner ce dernier point.* 
*La réponse ne peut être absolument nette, car la notion vulgaire 
de ligne peut varier, varie certainement, d’un individu à l’autre. La 
seule chose à faire, si l’on ne veut pas prendre parti, consiste à montrer 
par des exemples jusqu’où peut aller la complication de la définition 
de G. Cantor™).* 
A. Considérons d’abord l’ensemble des points d’une circonférence 
auxquels nous adjoindrons les points d’un rayon de la même circonférence. 
B. *Soit la courbe dont l’équation est 
y = sm 2 — > ou - — S £<* + --> 
Ou TC TC 
à laquelle nous adjoignons 
1°) les points 
# = 0, où 
2°) les points 
x 2 + V 2 = > où y < 0. 
L’ensemble ainsi construit est une courbe au sens de G Cantor™)* 
actuelle, cette distinction est fondamentale. Dans les applications à l’Analyse, 
il en est d’ailleurs de même. Ajoutons encore que deux lignes cantoriennes sans 
point commun ne forment pas un continu pour G. Cantor. Ici au contraire, il 
n’y aura pas d’inconvénient à dire que leur réunion forme une ligne, mais pas 
une ligne continue.* 
22) *D’après L. Zoretti, la question du texte n’a qu’un intérêt secondaire; 
nous n’avons pas en effet à choisir entre plusieurs définitions; celle de G. Cantor 
est la seule en cause. Tout ce qu’on peut essayer c’est de la modifier, par 
exemple dans le sens qui sera indiqué à la fin de ce n° 8.* 
23) Lebesgue, Rend. Cire. mat. Palermo 24 (1907), p. 878.*