8. Notion géométrique de ligne. 
159 
C. „Considérons sur le segment (0, 1) de Taxe des x un ensemble 
parfait non dense [17, 15; II2, 4], par exemple l’ensemble classique de 
G. Cantar 24 ) formé des points dont l’abscisse s’écrit dans le système 
de numération de base 3 sans employer le chilfre 1. Elevons en 
chaque point de l’ensemble une perpendiculaire de longueur un à 
l’axe des x dans le demi plan supérieur; l’ensemble formé par les 
segments obtenus et par le segment (0, 1) de l’axe des x est une 
ligne de Cantor 25 ).* 
D. *On peut faire la construction précédente (G) à la fois sur 
l’axe des x et des y. L’ensemble formé par la réunion de tous les 
segments est une ligne de Cantor 26 ).* 
„La première propriété que nous devons étudier est relative à la 
division du plan en régions par une ligne, qui nous permettra d’arriver 
à une définition d’une ligne fermée, ou d’une ligne simple fermée. 
Nous touchons là à une autre conception vulgaire de la ligne: c’est 
celle qui consiste à considérer la ligne comme tout ou partie de la 
frontière d’une surface ou d’un continuum plan, en appelant ainsi pour 
adopter tout de suite un langage précis un ensemble continu qui 
renferme des points intérieurs 27 ). On reconnaît immédiatement en 
étudiant les exemples précédents que des restrictions sont nécessaires.* 
La ligne A divise le plan en deux régions. Mais il y a des points 
de la ligne (ceux du rayon, sauf un) qui ne sont pas limites de points 
extérieurs. 
„La ligne JB divise aussi le plan en deux régions et l’exception 
ci-dessus ne se présente pas, mais certains points de JB (ceux qui sont 
situés sur l’axe des y) ne peuvent pas être joints à un point intérieur 
par une ligne continue formée d’un nombre fini de segments et tout 
entière à l’intérieur (nous avons vu plus haut le rôle spécial que 
jouaient les lignes formées uniquement de segments rectilignes).* 
„La ligne i) définit dans le plan une infinité dénombrable [cf. I 7 
ou II 2, 1 à 3] de petites aires.* 
„11 ne faudrait pas croire d’ailleurs qu’on simplifierait beaucoup 
24) „,Math. Ann. 21 (1883), p. 590; Acta math. 2 (1883), p. 407.* 
25) + W. F. Osgood, Trans. Amer. math. Soc. 1 (1900), p. 311.* 
26) *L. Zoretti, Ann. Ec. Norm. (3) 26 (1909), p. 486. On trouvera d’antres 
exemples dans F. Klein [Anwendung der Differential- und Integralrechnung 
auf Geometrie (cours autographié Gottingue 1901, éd. Leipzig 1902); nouv. éd., 
Leipzig 1907, p. 235] et A. Schoenflies [Jahresb. deutsch. Math.-Ver. 8 2 (1899), éd. 
Leipzig 1900, p. 101 et suiv. Voir également II 2, 12].* 
27) ^Yoir [Il 2, 10] les différentes acceptions des mots domaine, conti 
nuum, . . .*