160 H. von Mangoldt, lit 2. Les notions de ligne et de surface. L. Zoretti. 
en se bornant à étudier la frontière commune à deux continua dont 
l’un est tout entier à distance finie et dont l’autre l’entoure com 
plètement; c’est par exemple ce qui a lieu pour la courbe B 28 ).* 
La première restriction apportée à la définition de G. Cantor est 
due à A. Schoenflies 29 ). Le but que se propose A. Schoenflies est 
d’établir une définition analogue à celle de C. Jordan qui sera étudiée 
un peu plus loin [n° 8]. Bornons-nous pour l’instant à énoncer ses 
résultats. Il appelle 30 ) chemin simple (einfacher Weg) un ensemble 
de segments de droites, d’un seul tenant, ne se coupant pas lui-même 
et qui se compose soit d’un nombre fini de segments, soit tout au plus 
d’une infinité jouissant de la propriété suivante: les extrémités de ces 
segments forment un ensemble de points ayant un seul point-limite 31 ). 
Soit alors un point a de la frontière d’un continuum M] ce point est 
dit accessible à M si l’on peut constituer un chemin simple aboutissant 
à a à partir d’un point quelconque de M, ce chemin devant être en 
tièrement intérieur à M (sauf son extrémité a). 
Ceci posé, il considère une ligne cantorienne formant la frontière 
commune de deux continua sans point commun: la condition nécessaire 
et suffisante pour que cette ligne soit une ligne de Jordan est que 
tous ses points soient accessibles à la fois pour chacun des deux con 
tinua que la ligne sépare. 
On voit donc, et c’est pour cela que ces résultats trouvent leur 
place dans cette partie géométrique de l’étude actuelle, que la pro 
priété de séparer le plan en deux régions appartient à des lignes can- 
toriennes qui ne sont pas lignes de Jordan. La courbe B en est un 
exemple. 
*Une restriction de nature plus cantorienne a été apportée à la 
définition de G. Cantor par L. Zoretti 32 ). La nécessité de cette restriction 
apparaît dans l’étude géométrique par la nécessité de définir un arc 
28) *11 peut arriver qu’une ligne cantorienne soit la frontière commune 
à trois domaines à la fois et même à une infinité de domaines. Yoir A. Denjoy, 
C. R. Acad. sc. Paris 151 (1910), p. 138. 
29) Nachr. Ges. Gott. 1902, p. 185; id. 1904, p. 514. Math. Ann. 58 (1904), 
p. 195; 59 (1904), p. 129; 62 (1906), p. 286. Yoir aussi A. Schoenflies, Die Ent 
wickelung der Lehre von der Punktmannigfaltigkeiten, 2. Teil, Jahresb. deutsch. 
Math.-Ver., Ergänzungsband 2 (1908), p. 94, 199. 
30) A. Schoenflies, Math. Ann. 58 (1904), p. 202; 59 (1904), p. 131; Nachr. 
Ges. Gött. 1904, p. 516; Jahresb. deutsch. Math.-Yer., Ergänzungsband 2 (1908), 
p. 199. 
31) *Yoir I 7, 2 et II 2, B. Cet ensemble ayant un seul point limite est 
dénombrable: l’ensemble des segments l’est donc aussi (II 2, 4).* 
32) *Ann. Ec. Norm. (3) 26 (1909), p. 485.*