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III 1. F. Enriques. Principes de la géométrie. Introduction. 
Et maintenant, quel usage devra-t-on faire de cette liberté, qui 
logiquement demeure entière, de choisir à son gré les postulats? 
La réponse à cette question relève de la philosophie de la science, 
bien pins que de la science elle-même, puisque la question ne peut 
être résolue qu’en portant un jugement sur la valeur relative de 
plusieurs choix et non sur la légitimité de tel ou tel choix. 
En fait, quelques écoles géométriques récentes entendent profiter 
le plus largement possible de cette liberté. Telle l’école de G. Pcano 
dont les recherches se rapportent à des questions d’ordre logique 
formel; telle aussi l’école actuelle de B. Hilbert qui, quoique pour 
suivant surtout un but essentiellement mathématique, tend vers une 
abstraction de plus en plus grande et s’écarte, par suite, de plus en 
plus des données fournies par l’intuition. 
Dans cet ordre d’idées, il y a lieu de rappeler que les conditions 
d’une rigueur formelle ont pu, dans la plupart des cas, être exprimés 
par les signes de la logique mathématique. Ce système de signes 
dont il sera question dans le tome YIII de l’Encyclopédie a été l’ob 
jet des recherches de plusieurs mathématiciens parmi lesquels nous 
citerons ici G. W. Leibniz, G. Peacoclc, A. de Morgan, G. Boole, 
H. Grassmann, W. R. Hamilton, Ch. Peirce, E. Schröder, G. Peano, 
G. Erege et B. A. W. Russell. 
Le symbolisme de la logique mathématique qui, depuis 1889, est 
devenu pour G. Peano un système de représentation mathématique, 
permet de constater, sous une forme sensible, la nécessité de l’intro 
duction de concepts primitifs. Chacun de ces concepts s’introduit 
sous la forme d’un nouveau signe qui le représente. 
Ce même symbolisme conduit aussi à une critique approfondie de 
la simplicité et de l’indépendance des postulats et des concepts primitifs, 
ainsi qu’à une critique approfondie de la compatibilité des postulats. 
,,si une phrase contient un seul mot dont la signification nous est inconnue, 
l’énoncé de cette phrase pourra suffire à nous en révéler la valeur. *Si, par 
exemple, on dit à quelqu’un qui connaît bien les mots triangle et quadrilatère 
mais qui n’a jamais entendu prononcer le mot diagonale, que chacune des deux 
diagonales d’un quadrilatère le divise en deux triangles, il concevra sur le 
champ ce que c’est qu’une diagonale et le concevra d’autant mieux que c’est ici 
la seule ligne qui puisse diviser le quadrilatère en triangles.* Ces sortes de 
phrases qui donnent ainsi l’intelligence de l’un des mots dont elles se composent, 
au moyen de la signification connue des autres, pourraient être appelées dé 
finitions implicites, par opposition aux définitions ordinaires qu’on appellerait 
définitions explicites. ... On conçoit aussi que ,.. deux phrases qui contiennent 
deux mots nouveaux, combinés avec des mots connus, peuvent souvent en dé 
terminer le sens.“