3. Notion géométrique de ligne. 
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d’une courbe donné, d’éclaircir la notion de „situé entre“ relativement 
aux points d’une courbe comme on le fait pour la droite [cf. III1 10]. 
On y parvient en introduisant la notion d’ensemble irréductible* 
^Un ensemble continu est dit irréductible entre deux de ses points 
a et h quand il n’existe aucune portion continue de l’ensemble com 
prenant à la fois a et b. Un ensemble irréductible ne peut pas con 
tenir de points intérieurs. Dans le plan, il est donc linéaire; dans 
l’espace à trois dimensions il peut contenir des aires* 
*Tout ensemble continu contient une portion irréductible entre 
deux points donnés d’avance. Toute portion continue d’un ensemble 
irréductible est elle-même irréductible. Un ensemble irréductible entre 
deux points a et b peut l’être également entre deux autres points. 
Parmi les ensembles irréductibles, les plus simples sont ceux qui le 
sont d’une seule manière et dont toute portion est également irré 
ductible d’une seule manière. C’est dans ceux-là qu’on peut voir la 
notion la plus générale d’une ligne simple.* 
*L. Zoretti démontre le théorème suivant: si l’on décompose un 
continu irréductible entre deux points en deux continus ayant un et 
un seul point commun, ces deux continus sont séparément irréductibles. 
Si le point commun c est donné à l’avance, la décomposition, lors 
qu’elle est possible, ne l’est que d’une seule manière. Cette décom 
position est toujours possible lorsque l’ensemble continu donné a 
toutes ses portions irréductibles d’une seule manière.* 
+ Les ensembles irréductibles pour lesquels cette décomposition est 
possible sont appelés arc simples par S. Janiszeivski* 
+ Ces théorèmes donnent un sens précis aux expressions arc de 
courbe et point situé entre deux autres. Un ensemble continu étant 
irréductible, l’arc de courbe cd sera la portion continue (unique d’après 
ce qui précède) de l’ensemble donné qui est irréductible entre c et d. 
Un point m sera dit situé entre a et b s’il appartient à l’arc cd* 
+ La définition du mot arc est moins simple quand l’ensemble 
continu donné n’a pas toutes ses portions irréductibles d’une seule 
manière 33 ). L. Zoretti démontre le théorème suivant: 
Étant donné un ensemble continu irréductible 6' et un point c 
de G, on peut, et d’une seule manière, décomposer C eu trois ensembles 
G 1} C 2 , F jouissant des propriétés suivantes: 
1°) C x et C 3 , sont bien enchaînés et ont en commun le seul 
point c; 
2°) F est l’ensemble des points-limites communs de G x et 
33) L. Zoretti, C. R. Acad. sc. Paris 151 (1910), p. 201. 
Enoyolop. des scieno. mathémat. Ill X. 
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