162 H. von Mangoldt. III 2. Les notions de ligne et de surface. L. Zoretti. 
3°) chacun des ensembles C x + F et C 2 + F est continu et irré 
ductible* 
JEn second lieu, soit un continuum et soient a et b deux points 
quelconques de sa frontière extérieure 34 ). L. Zoretti démontre que cette 
frontière, qui est continue 35 ), est la somme de deux ensembles continus 
irréductibles entre a et & et n’ayant que ces points a et & en commun, 
pourvu toutefois que l’on puisse joindre a et & par une ligne inté 
rieure au continuum n’ayant que a et b en commun avec la frontière 
de celui-ci. Cette décomposition n’est possible que d’une manière.* 
*On peut, en se plaçant à un point de vue qui rappelle celui de 
A. Schoenflies, étudier les rapports entre les ensembles continus irré 
ductibles 36 37 ) et la ligne de Jordan. Ici aussi une restriction est indis 
pensable pour l’identité des deux notions. Voici comment l’énonçait 
d’abord L. Zoretti: un arc quelconque de l’ensemble irréductible donné 
doit se réduire en entier à un point quand ses extrémités tendent vers 
un même point limite. La courbe B, par exemple, ne satisfait pas à 
cette restriction. L. Zoretti^ 1 ') appelait d’abord „absolument fermé“, puis 
ensemble irréductible simple, un ensemble jouissant de cette propriété. 
Un tel ensemble est identique à Varc simple de S. Janiszewski* 
+ La définition générale de G. Cantor permet de donner une définition 
du mot tangente. S. Janiszewski 38 ) appelle ainsi une droite jouissant 
34) *i/. Zoretti, J. math, pures appl. (6) 1 (1905), p. 9.* 
35) +E. Phragmén, Acta math. 7 (1885/6), p. 43; voir aussi L. Zoretti, J. math, 
pures appl. (6) 1 (1905), p. 9.* 
36) *H importe de remarquer que même les lignes irréductibles sont d’une 
complication assez grande; on est ainsi amené à chercher d’autres restrictions, 
comme celle de l’ensemble absolument fermé 32 ). D’après L. Zoretti, il vaut mieux 
reconnaître que l’on n’a pas prévu dès le début jusqu’où pouvait aller la com 
plication de notre conception vulgaire de ligne, et chercher à démontrer des 
propriétés générales en prenant une définition aussi large que possible. Ce n’est 
évidemment pas la première fois qu’en approfondissant une conception, elle se 
complique (sans s’obscurcir d’ailleurs) dans des proportions inattendues. L’histo 
rique du mot fonction en fournit un exemple topique [cf. II 1, 1 à 3]; le droit 
de chacun de choisir comme sujet d’études une acception plus ou moins large 
de ce mot est cependant incontestable.* 
*La complication de la notion de ligne cantorienne ou de ligne irréductible 
est mise en évidence par S. Janiszewski [C. R. Acad. sc. Paris 150 (1910), p. 1502], 
L. E. J. Brouwer [Math. Ann. 68 (1910), p. 422], A. Denjoy [C. R. Acad. sc. 
Paris 151 (1910), p. 138], L. Zoretti [C. R. Acad. sc. Paris 150 (1910), p. 1505; 
151 (1910), p. 201]; Acta math. 34 (1911) sous presse]. Des exemples donnés 
par L. E. J. Brouwer montrent qu'un continu irréductible peut diviser le plan 
en deux régions séparées.* 
37) *Ann. Ec. Norm. (3) 26 (1909), p. 492.* 
38) *C. R. Acad. sc. Paris 150 (1910), p. 606.*