166 H. von Mangoldt. III 2. Les notions de ligne et de surface. L. Zoretti. 
éléments, les points voisins du point P 0 qui appartiennent au même 
élément sont dits appartenir au même arc, tandis qu’au contraire les 
points qui n’appartiennent pas au même élément n’appartiennent pas 
au même arc. Du reste, les limites précises d’un arc seront en général 
laissées indéterminées. 
6. Points isolés (Einsiedler). Considérons une ligne analytique 
réelle, et les points imaginaires qui lui appartiennent. Il peut arriver 
qu’un point réel P 0 forme le centre d’un élément de la ligne qui ne 
contienne aucun autre point réel que le point P 0 lui-même au voisinage 
du point P 0 48 ). Ce point P 0 s’appelle un point isolé 49 ). Cela ne 
signifie pas toujours que le point soit complètement isolé, c’est-à-dire 
entièrement dépourvu de points réels voisins; en outre de l’élément 
tout imaginaire dont il est le centre, il peut être aussi centre d’élé 
ments réels en nombre quelconque donnant naissance à des arcs réels 
qui se croisent au point donné 50 ). 
7. Représentation par des équations. Soit un arc d’une courbe 
analytique. Prenons sur cet arc un point P 0 de coordonnées (x 0 , y 0 ) 
ou (x 0 , y 0 , z 0 ) suivant qu’il s’agit d’une courbe plane ou gauche. 
Soit t un paramètre qui prend des valeurs arbitraires de module suffi 
samment petit. D’après la définition générale de la ligue analytique 
et d’après la conception d’un „arc“ de cette ligne, on pourra (et même 
de plusieurs manières) trouver deux équations quand la courbe est 
plane (trois équations quand la courbe est gauche) de la forme 
m x — x 0 = Pi(0, 
y-Vo = 
dans le cas des courbes planes, 
x — x 0 = P t (t), 
(!') y~ 2/o = P 2(0; 
* ~ *o = P s(0> 
48) Soient par exemple deux nombres a, h assujettis à la condition a<^h; 
la ligne y t — — a y .— &) = o 
possède un point isolé x=a, y — 0. 
49) On trouve déjà un exemple de ce fait dans G. Cramer, Introduction à 
l’analyse des lignes courbes algébriques, Genève 1750, p. 449. Voir également 
J.Plücker, Analyt.-geometriscbe Entwickelungen 2, Essen 1831, p.267, 292; System 
der analyt. Géométrie, Berlin 1835, p. 196; G. Salmon, A treatise on higber 
plane curves, (2° éd.) Dublin 1873, p. 22; trad. française par O. Chemin, Traité 
de géométrie analytique (courbes planes), Paris 1884, p. 35; 2 e tirage, Paris 
1903, p. 35. 
50) J. Plücker, Théorie der algebraischen Curven, Bonn 1839, p. 172.