dans le cas des courbes gauches; P x (t), P 2 (t) dans le cas des courbes 
planes, P x {t), P 2 (i), P 3 (0 dans le cas des courbes gauches, désignent 
des séries entières en (t) convergentes chacune dans un voisinage 
suffisamment petit de l’origine, s’annulant pour t = 0 et telles que 
1°) toute valeur de t fournit un point de l’arc considéré, 
2°) tout point de cet arc suffisamment voisin du point P 0 peut- 
être obtenu pour une et une seule valeur de t appartenant au domaine 
choisi 51 ). 
C’est là une représentation paramétrique d’un élément de ligne 
analytique. Lorsqu’il s’agit d’un élément d’un arc réel on peut se 
borner à envisager des valeurs réelles du paramètre t et des coeffi 
cients des séries P t -(i). 
Il existe pour un même arc une infinité de telles représentations. 
Considérons-en deux. Soient t et r les deux paramètres. Le paramètre 
t sera une fonction du paramètre t, analytique pour x = 0. Cette 
fonction doit s’annuler pour x — 0. Inversement, choisissons au hasard 
une fonction t(x) analytique et nulle pour t — 0; pourvu que sa dé 
rivée ^ ne s’annule pas pour x = 0, elle donne également une repré 
sentation analytique du même arc de courbe au moyen du nouveau 
paramètre x. 
Supposons au contraire qu’après avoir réalisé une représentation 
analytique au moyen du paramètre t, on substitue à la place de t 
une fonction t=(p{x), analytique et nulle pour x = 0, mais n’ayant 
plus sa dérivée différente de zéro pour la même valeur de r; on ob 
tient une représentation de l’élément considéré mais de telle nature 
que tous les points de l’élément (sauf le point central) suffisamment 
voisins de lui sont atteints plusieurs fois, c’est-à-dire correspondent à 
plusieurs valeurs du paramètre 52 ). Réciproquement deux fonctions de 
la forme (1) quand la courbe est plane, trois fonctions de la forme 
(1) quand elle est gauche, donnent (en les supposant non identique 
ment nulles) une représentation soit propre, soit impropre, d’un élément 
d’une ligne analytique. 
On peut se proposer de représenter analytiquement toute une ligne 
analytique et non seulement un élément. Cf. II 9 et II 30, 
51) Dans le cas où le point P 0 gérait à l’infini, tout ce qui précède subsiste 
en convenant dans le cas des courbes planes de remplacer les expressions x — oo, 
oo respectivement par — 
pressions x — oo, y 
oo, z — oo respectivement par ^ 
52) L. Baffy, Leçons sur les applications géométriques de l’analyse, Paris 
1897, p. 3, 4, 6; il appelle ces représentations des représentations impropres.