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168 H. von Mangoldt. III 2. Les notions de ligne et de surface. L. Zoretti. 
*Une autre représentation analytique très usitée (dans le cas de 
deux dimensions) consiste à trouver une fonction f(x, y) qui soit 
identiquement nulle quand on y remplace x, y par les coordonnées 
d’un point de la ligne. On peut énoncer à ce sujet le résultat suivant* 
Considérons un élément quelconque d’une ligne analytique plane, il 
est possible et de plusieurs manières de trouver une fonction f(x, y) 
analytique dans un domaine suffisamment petit entourant le centre 
x 0 , y 0 de l'élément, qui soit nulle pour tous les points appartenant à 
l’élément et pour ces points seulement. 
Inversement, considérons une fonction f(x, y) de deux variables, 
analytique au voisinage d’un point x 0 , y 0 pour lequel elle s’annule, 
et qui de plus ne soit pas identiquement nulle. L’ensemble des points 
{x, y), voisins de (x 0 , y 0 ), qui font prendre à f(x, y) la valeur zéro, 
forme, soit un élément de ligne analytique, soit un nombre fini de 
tels éléments constituant différents arcs qui appartiennent soit à une 
même ligne analytique, soit encore à plusieurs lignes analytiques. 
On peut, dans un grand nombre de cas, aller plus loin: supposons 
donnée une ligne analytique; on pourra souvent déterminer une fonction 
analytique uniforme f(x, y) telle qu’il y ait identité entre les points de 
la ligne et l’ensemble des solutions de l’équation f{x, y) = 0. Dans 
ce cas on obtient une représentation complète de la ligne. 
On ne peut pas sans restrictions énoncer la réciproque de cette 
propriété. Soit en effet une fonction analytique uniforme de deux 
variables f(x, y). L’équation 
f{x, y) = 0 
représente bien en général une ligne analytique; mais il faut prévoir 
les cas d’exception suivants: 
1°) l’équation peut ne représenter aucune ligne; c’est ce qui arrive 
si elle n’a aucune solution; 
2°) elle peut également représenter plusieurs lignes différentes; 
3°) enfin elle peut ne représenter qu’une portion d’une ligne analy 
tique 53 ). 
53) Considérons par exemple l’équation e a ^ x ’ ^ = 0, où g{x, y) désigne une 
fonction entière; elle n’a aucune solution. 
Le deuxième cas se présente pour une équation algébrique non irréductible 
qui représente un nombre fini de lignes différentes. + Pour les lignes algébriques, 
la notion d’irréductibilité permet d’ailleurs de donner un énoncé satisfaisant 
de la réciproque cherchée. Mais cette notion est bien moins simple quand il 
s’agit de fonctions non algébriques.* De telles fonctions peuvent représenter une 
infinité de lignes. Exemple: 
sin [g{x, y)] = 0,