4. Compatibilité des postulats. 
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4. Compatibilité des postulats. En étudiant de très près le 
cinquième postulat d’Euclide (dans le but, auquel on a dû finalement 
renoncer, de le démontrer) on a reconnu qu’un postulat peut être 
indépendant d’autres postulats constituant un système donné, en ce 
sens qu’on ne peut le déduire de ce système. Partant de là on a, 
peu à peu, été amené à formuler les remarques suivantes: 
A) Un système de postulats peut jouir d’une indépendance ordonnée 
ou d’une indépendance absolue. Dans le premier cas, les postulats du 
système étant pris dans un ordre déterminé, chacun d’eux est in 
dépendant de ceux qui le précèdent. Dans le second cas, chaque 
postulat est indépendant de tous les autres, aucun ordre n’étant 
assigné. 
B. Levi s2 ) a montré que si l’on possède un système de postulats 
a, b, c, . . ., jouissant d’une indépendance ordonnée, on peut toujours 
le remplacer par un autre système de postulats a v b v c v . .., jouissant 
d’une indépendance absolue. 
„Pour former ce dernier système il suffit de prendre 
1°) pour a v le postulat a; 
2°) pour \ le postulat que voici: la proposition énoncée par le 
postulat b est satisfaite pour tous les éléments qui satisfont au 
postulat a; 
3°) pour c x le postulat que voici: la proposition énoncée par le 
postulat c est satisfaite pour tous les éléments qui satisfont aux 
postulats a et b ou Zq; etc* 
B) Le degré d’indépendance des postulats a, b, c, ... est lié à 
leur complexité. Moins b est simple et plus on peut s’attendre à 
ce que b ne soit pas tout entier une conséquence de a, mais qu’on 
puisse cependant déduire de a une partie de b. 
Dès lors l’indépendance des postulats a une valeur d’autant plus 
significative que ces postulats sont plus simples. Et l’on est ainsi 
tout naturellement amené à se poser la question suivante: 
Peut-on construire la géométrie sur un système de postulats tout 
à fait simples? D’après A. Padoa aa ), à cette question il faut répondre 
négativement, car toute proposition vraiment simple se ramène à la 
forme: 
• a est différent de b, 
où a et & sont des entités déterminées, et il faudrait un nombre in 
fini de propositions semblables pour remplacer n’importe quel postulat 
fondamental de la géométrie ordinaire. 
32) Memorie Accad. Torino (2) 64 (1904), p. 283. 
33) A. Padoa, Communication verbale faite à F. Enriques, en 1900.