8. La notion de ligne d’après Jordan. 
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On peut également considérer des lignes formées par la réunion 
d’un nombre fini ou même infini dénombrable de lignes analytiques, 
ou de portions de lignes analytiques associées d’une façon quelconque, 
par exemple de façon à constituer la frontière d’une portion de 
surface 57 58 ). 
D’autres généralisations encore ont été introduites dans le cas 
spécial de variables réelles. Dans un grand nombre de recherches 08 ), 
on prend le mot ligne comme abréviation de „image géométrique 
d’une fonction réelle d’une variable réelle dans un système de coor 
données (rectangulaires) planes“. 
„On peut, soit sur la fonction, soit sur l’argument, faire des hypo 
thèses plus ou moins restrictives: existence ou non existence de la 
dérivée, ou des dérivées d’un certain ordre, etc. 59 ).* 
8. La notion de ligne d’après Jordan. + La plus importante 
de ces généralisations est celle qui a été étudiée d’abord et surtout 
par C. Jordan 60 ).* 
Cette généralisation consiste à se donner trois fonctions continues 
d’une variable réelle t, 
fif), dit), K*), 
la variable t étant supposée décrire un intervalle (les fonctions f, g, h 
ne doivent pas être constantes toutes les trois). Le point qui, dans 
un système de coordonnées rectangulaires, a pour coordonnées 
£ = fit) , y = dit), * = Kt) 
est dit décrire la ligne. Cette définition correspond à la conception 
vague de la ligne comme „trajectoire d’un point“. Nous pouvons 
supposer que le paramètre t varie de 0 à 1. Les fonctions f y g, Ji sont 
supposées exister pour les valeurs t = 0, t — 1 et pour ces valeurs 
elles admettent la continuité d'un côté (à droite pour t — 0, à gauche 
pour t = 1). 
+ Avec cette restriction, une ligne au sens de C. Jordan est un 
ensemble fermé, parfait, d’un seul tenant. La définition actuelle nous 
rapproche donc de celle de G. Cantor.* 
On peut encore exprimer cette conception de la façon suivante: 
57) L. Euler avait déjà considéré de telles lignes qu’il appelait ,,curvae dis- 
continuae seu mixtae et irregulares“ [L. Euler, Introd. 11 ) 2, p. 6; trad. J. B. 
Labey 2, p. 4]. 
58) Voir par exemple P. du Bois-Beymond, Math. Ann. 15 (1879), p. 283; 
O. Stols, Math. Ann. 18 (1881), p. 268; L. Scheeffer, Acta math. 5 (1884/5), p. 49. 
59) Voir L. Scheeffer, Acta math. 5 (1884/5), p. 51/2 en note. 
60) Cours d’Analyse (2 e éd.) 1, Paris 1893, p. 90, (8 e éd.) 1, Paris 1909, p. 90.