172 H- von Mangoldt. III 2. Les notions de ligne et de surface. L. Zoretti. 
Un ensemble fermé sera dit former un arc continu de courbe s’il est 
l’image continue d’un segment de droite 61 ). 
Si le point t — 1 coïncide avec le point t = 0, la courbe est dite 
fermée. Si les fonctions f\ g, h sont périodiques et de même période, 
on se bornera à considérer les valeurs de t dans un intervalle égal à 
une période; cela donne évidemment tous les points de la courbe. 
On appellera point multiple de la courbe tout point qui correspond 
à des valeurs différentes du paramètre ¿ 62 ). 
On peut tout d’abord se demander jusqu’à quel point il j a 
identité entre la notion de ligne de Jordan et notre notion vulgaire 
de ligne [voir n 08 1 à 3]. La définition de C. Jordan est trop large en 
ce sens qu’elle s’applique à des lignes qui épuisent tous les points 
d’une aire 63 ). 
On peut écarter cette difficulté en considérant une ligne dépourvue 
de points multiples 64 ). 
% Nous appellerons donc arc de courbe simple un ensemble de points 
borné [II 2, 31 qui est l’image continue uniforme et réciproque d’un 
segment de droite (avec cette légère restriction que, sur la courbe, il 
peut exister un point double de la nature suivante: ce point correspond 
à la fois à la première et à la dernière valeur du paramètre).* 
t A. Sclwenflies 65 ) emploie le langage suivant: si l’on envisage le 
groupe des transformations continues et uniformes d’une part, et le 
groupe des transformations continues uniformes et réciproques d'autre 
part, le nombre des dimensions de l’espace est un invariant du second 
groupe et pas du premier 66 ).* 
La propriété la plus importante d’une courbe de Jordan plane et 
sans points multiples est la suivante connue sous le nom de théorème 
de Jordan: elle divise le plan en deux régions, l’une extérieure, l’autre 
61) A. Hurwitz, Yerli. des ersten intern. Math.-Kongr. Zurich 1897, pabl. 
par F. Rudio, Leipzig 1898, p. 102. 
62) C. Jordan, Cours d’Analyse, (2 e éd.) 1, Paris 1893, p. 90; (3 e éd.) 1, 
Paris 1909, p. 90. 
63) Voir II 2, 16. On trouvera les premiers exemples de cette particularité 
dans G. Peano, Math. Ann. 36 (1890), p. 157; D. Hilbert, Math. Ann. 38 (1891), 
p. 459; consulter également A. Schoenflies, Jahresb. deutsch. Math.-Yer. 8 2 (1899), 
éd. Leipzig 1900, p. 121; E. H. Moore, Trans. Amer. math. Soc. 1 (1900), p. 72; 
F. Klein, Anwendung der Differentialrechnung auf Geometrie 26 ), (uouv. éd.) p. 238 
et suiv. 
64) Voir C. Jordan, Cours d’Analyse, (2 e éd.) 1, Paris 1893, p, 91; (3 e éd.) 1, 
Paris 1909, p. 91; E. Study, Math. Ann. 47 (1896), p. 314, 
65) Jahresb. deutsch. Math.-Yer., Ergânzungsband 2 (1908), p. 149. 
66) Voir II 2, 16 et 17.