178 S. von Mangoldt. III 2. Les notions de ligne et de surface. L. Zoretti. 
seuls peuvent, d’après lui, être l’objet de l’expérience et de l’observation, 
tandis que les lignes mathématiques qui font l’objet des mathématiques 
rationnelles, pas plus d’ailleurs les lignes analytiques que celles qui 
ne le sont pas, ne peuvent en aucune manière être observées. 
D’après cela, on peut bien demander à l’observation et à l’expéri 
mentation des renseignements sur les propriétés des traits fonctionnels, 
mais, par contre, elles ne peuvent nous eu fournir aucun sur les lignes 
envisagées dans les mathématiques rationnelles. Il faudra donc examiner 
dans chaque question particulière dans quelle mesure ce que nos sens 
nous apprennent reste valable pour les lignes mathématiques abstraites. 
Le procédé habituel qui conduit à ces lignes par des abstractions 
successives peut faire disparaître des propriétés essentielles de la ligne 
physique, comme par exemple l’existence d’une tangente approchée 
ou celle d’une longueur d’arc. Ces considérations expliquent les con 
tradictions qui ont paru si souvent s’élever entre les résultats de 
l’expérience et ceux des mathématiques de précision. 
Nous rattacherons à ce qui précède les travaux de K. Weierstrass 83 ) 
sur la représentation approchée d’une fonction. Soit donné dans un 
intervalle fini un trait fonctionnel. Il est toujours possible de trouver 
une fonction réelle analytique, et même une fonction entière g(x), telle 
que la ligne 
y = 9{x) 
se trouve, dans l’intervalle considéré, constamment située dans ce 
trait. On peut même déterminer cette ligne de façon qu’elle satisfasse 
à la condition supplémentaire qu’il y ait dans tout l’intervalle coïn 
cidence (approchée) suffisante entre sa pente et sa courbure d’une part 
et celles du trait fonctionnel d’autre part 84 ). D’après cela, et dans le 
but de satisfaire de la façon la plus simple possible aux conditions 
imposées par la nature, dans le but également de faire „économie 
de pensée“, on a pu se borner jusqu’ici dans les applications des 
mathématiques à la considération des lignes analytiques. Mais on 
constatera que l’on n’a pas encore complètement éclairci la question du 
parti que l’on pourrait tirer de l’introduction de lignes non analytiques 
dans le domaine des mathématiques appliquées 85 ). 
82) F. Klein, Anwendung der Differentialrechnung auf Geometrie * 6 ), nouv. 
éd. p. 19, 39/41, 228. 
83) Sitzgsb. Akad. Berlin 1885, p. 633/8, 789/805; Werke 3, Berlin 1903, 
p. 1/31. 
84) F. Klein, Anwendung der Differentialrechnung auf Geometrie !6 ), (nouv. 
éd.) p. 103/7. 
85) Gutachten der philosophischen Fakultät der Georg August-Universität 
zu Göttingen, betreffend die Beneke-Preisaufgabe für 1901, Nachr. Ges. Gott. 1901,