12. Recherches contemporaines sur la notion de surface. 183 
ne soient pas nuis, et enfin telles qu’à deux points (u, v) différents 
correspondent deux points (x, y, z) différents, tout cela quand (u, v) 
décrit un domaine E] le point x, y, z sera dit décrire une surface.* 
+ On voit combien, dans cette définition les hypothèses sont plus 
restrictives que dans celle de la ligne de Jordan.* 
Lébesgue 22 ), qui s’occupe de la notion de surface à propos du 
problème des aires, est très bref au sujet de la définition à donner 
à ce mot.* 
JcL MinkowsJci 92 93 94 ) introduit les définitions suivantes. Il appelle 
corps convexe un ensemble fermé dans l’espace à trois dimensions qui 
a en commun avec une droite, soit tout un segment, soit un point, 
soit aucun point et qui, enfin, ne se réduit pas à un plan. Il appelle 
surface convexe la frontière totale (au sens cantorien) d’un corps con 
vexe, surface fermée un ensemble de points divisant l’espace en deux 
ensembles séparés dont la surface donnée forme toute la limite com 
mune. Ces définitions lui permettent d’obtenir une définition assez 
générale de l’aire, et des propriétés de cette aire [voir encore à ce 
sujet II 2, 18, 19, 20].* 
JL. T). Ames u ) a aussi envisagé une question analogue dans le but 
d’étendre à l’espace la démonstration du théorème de Jordan. Il in 
troduit pour cela la notion d’angle solide. Ses hypothèses sont tout 
aussi restrictives que celles de C. Jordan (existence de dérivées con 
tinues nécessaire).* 
^On doit enfin rattacher au point de vue qui nous occupe les 
recherches sur les correspondances entre les continuums à m et p di 
mensions [voir II 2, n os 16, 17].* 
+ C’est le point de vue cantorien qui a été étudié le dernier et 
tout à fait récemment. Des difficultés se présentent dans l’espace à 
trois dimensions, un peu analogues à celles que l’on rencontre quand 
on passe de l’étude des ensembles à une dimension à l’étude des en 
sembles plans. Tandis qu’un grand nombre de propriétés générales 
des ensembles s’étendent immédiatement aux ensembles dans l’espace 
à n dimensions, certaines propriétés au contraire sont plus délicates 
à généraliser. D’une façon générale ce sont celles qui se rapportent 
à l’étude des variétés particulières à l’espace considéré.* 
^Ainsi la distinction dans l’espace E 2 (à deux dimensions) entre 
le continuum ligne et le continuum surface n’a pas d’équivalent dans 
92) Ann. mat. pura appl. (3) 7 (1902), p. 68. 
93) Jahresb. deutsch. Math.-Yer. 9 1 (1900), éd. Leipzig 1901, p. 115/21. 
94) Amer. J. math. 27 (1906), p. 343.