186 Gr- Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
leur énonciation précise, les recherclies concernant leur compatibilité 
et leur indépendance, sont des problèmes difficiles et en même temps 
fondamentaux [cf. III 1]. 
D’autre part, nous pouvons supposer connue l’arithmétique, ou 
plus généralement l’analyse, c’est-à-dire les propriétés fondamentales 
des nombres; ces propriétés se déduisent également de certains prin 
cipes, moins nombreux toutefois et beaucoup plus simples que ceux 
de la géométrie. Si nous appelons point l’élément analytique formé 
de trois nombres (appelés coordonnées), plan l’ensemble de tous les 
points (c’est-à-dire de tous les groupes de trois nombres) qui vérifient 
une équation linéaire déterminée à trois variables, etc., il résulte im 
médiatement de théorèmes analytiques que les propositions géométri 
ques relatives à la détermination des lignes droites et des plans par 
deux ou trois points (en position générale), de même que celles rela 
tives aux intersections des droites et des plans, sont toutes vérifiées; 
et la continuité de l’espace (défini analytiquement) résulte de la con 
tinuité des nombres. Partant de là, on peut établir une théorie de 
l’espace analytique qui s’identifie avec la géométrie, sans que l’on soit 
obligé de faire appel à l’examen des figures ou à des notions et 
opérations géométriques. On remplace les figures géométriques par 
des éléments analytiques (leurs „coordonnées“ ou „leurs équations“) aux 
quels les méthodes du calcul sont applicables. Passer d’une figure 
à une autre revient à déduire l’équation de la deuxième de l’équation 
de la première; les vérités géométriques servent de représentation aux 
relations analytiques. C’est la „géométrie analytique“; la première 
s’appelle par opposition „géométrie synthétique“. 
2. Notions fondamentales de la géométrie analytique. La 
„théorie analytique de l’espace“ telle que nous venons de l’esquisser doit 
son origine à l’idée de „représenter“ les points du plan ou de l’espace 
par deux ou trois nombres qu’on appela les coordonnées de ces points 2 ). 
Le principe général que R. Descartes et P. de Fermât établirent 
pour les courbes d’un plan, et qu’ils esquissèrent aussi pour la géo 
métrie de l’espace, a reçu de nos jours des applications et des générali 
sations multiples [cf. III 7]. 
Dans chaque forme fondamentale de rang un, deux ou trois [n° 9], 
dont l’élément est le point, la ligue droite ou le plan, on peut représenter 
et même de plusieurs manières ces éléments par des coordonnées; les 
oo 3 cercles d’un plan et les oo 4 sphères de l’espace peuvent aussi être 
représentés par des coordonnées que l’on sait définir géométriquement, 
2) Voir sur ce sujet III17, n os 1 à 17 et III 22 n os 1 à 13.