188 G.Fano. III3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
leurs ou du moins à un nombre discontinu de systèmes de valeurs 
des paramètres, de telle sorte qu’une variation continue des paramètres 
amène une variation continue de la figure et inversement, nous pou 
vons prendre les paramètres introduits comme coordonnées de la figure 
correspondante dans le groupe considéré. 
Cette considération s’applique continuellement aux systèmes liné 
aires de courbes et de surfaces algébriques, en particulier au système 
formé de toutes les courbes planes ou de toutes les surfaces d’un 
ordre donné, et aux involutions dans les formes de première espèce. 
C’est ainsi, et en appliquant même cette méthode plusieurs fois de 
suite, qu’on arrive à étendre la conception des coordonnées à beau 
coup d’autres cycles de figures géométriques. 
Pour interpréter géométriquement les équations contenant plu 
sieurs séries de variables, on interprète les variables de chaque série 
isolée comme coordonnées d’un élément d’un ensemble particulier; 
cette interprétation se rapporte alors à la totalité des figures formées, 
de toutes les façons possibles, en prenant un élément dans chacun des 
ensembles. Ces éléments ne sont pas nécessairement de la même nature; 
l’exemple le plus simple relatif aux éléments hétérogènes nous est 
fourni par les connexes 5 ) du plan, que A. Clebsch 6 ) a le premier étudiés. 
L’interprétation géométrique des équations différentielles imaginée 
par G. Monge 7 ) et reprise plus tard par P. du Bois-Reymond 8 ) et S. Lie 9 ) 
doit être considérée aussi comme une extension de l’interprétation des 
5) „Un connexe est représenté par une équation f(x, y, z, u, v, w) = 0 
entre les coordonnées homogènes x, y, z d’un point du plan et les coordonnées 
tangentielles homogènes u, v, w d’une droite. A tout point x 0 , y 0 , z 0 du plan 
correspondent une infinité de droites qui enveloppent une courbe. A toute droite 
u 0 , v 0 , w 0 correspondent une infinité de points situés sur une courbe.* 
6) Nachr. Ges. Gott. 1872, p. 429; Math. Ann. 6 (1873), p. 203. La notion 
de connexe apparaît déjà dans J. Plücker, Analytisch-geometrische Entwicke- 
lungen 2, Essen 1831, (§ 2). 
7) Hist. Acad. sc. Paris 1784, éd. 1787, p. 502; Feuilles d’analyse appliquée 
à la géométrie à l'usage de l’Ecole polytechnique, publiées la première année de 
cette école, Paris an III, par G. Monge, éd. Paris Thermidor an IX; les éditions 
suivantes sont publiées sous le titre: Application de l’analyse à la géométrie; 
dernière édition publiée par J. Liouville, Paris 1850; voir en particulier l’addition 
p. 420 et suiv. 
8) Beitràge zur Interprétation der partiellen Differentialgleichungen mit 
drei Yariablen, Leipzig 1864. 
9) Déjà dans ses premiers travaux, de 1870 à 1881, S. Lie utilise la géométrie 
de la ligne droite de J. Plücker et la géométrie des sphères pour étudier la théorie 
des équations différentielles. Les notions fondamentales qui se rapportent à 
l’interprétation géométrique des équations différentielles se trouvent déjà dans les 
mémoires de 1872 [Forhandlinger Yidenskabs Selskabet Christiania 1872, éd. 1873,