B. Relations mutuelles des deux géométries. 
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équations finies par des figures géométriques. De même qu’on inter 
prète un système de valeurs de x, y ou de x, y, z, comme représentant 
un point du plan ou de l’espace, on peut interpréter un système de 
valeurs de 
X,y,z,p = j- x , 
comme représentant un élément linéaire du plan ou de l’espace ou un 
élément de surface. Une équation différentielle représente un certain 
ensemble de ces éléments, et le problème de l’intégration de cette équa 
tion peut alors facilement être interprété géométriquement [cf. II 16 5 
II 21; II 22 et dans l’article actuel III 3 ce qui a trait aux recherches 
de S. Lié]. 
La détermination de figures géométriques par des coordonnées, et 
la représentation d’ensembles de ces figures, c’est-à-dire encore de figures, 
par des équations sont les deux notions fondamentales de la géométrie 
analytique; le reste n’est qu’une question de calculs (au sens le plus 
général) c’est-à-dire de problèmes d’analyse. Toute figure représentée 
par une équation, peut d’ailleurs, en général, être définie aussi au moyen 
de coordonnées; il suffit de considérer comme telles les constantes 
qui entrent dans son équation; et toute figure qui peut être définie 
par des coordonnées peut être considérée comme un élément commun 
(intersection) à certains ensembles dont chacun est représenté par une 
équation (obtenue en égalant à une constante chacune des coordonnées 
sus-dites). 
B. Relations mutuelles des deux géométries. Toute question 
géométrique peut être traitée soit analytiquement, soit synthétique 
ment. Dans la méthode analytique il y a trois phases essentielles 
à distinguer: 
1°) La traduction analytique du problème, dans laquelle il s’agit 
d’exprimer les conditions du problème par des équations, c’est-à-dire 
„de les écrire dans la langue de la géométrie analytique“. 
2°) La déduction, en partant de ce système d’équations, des autres 
p. 24/7; Nachr. Ges. Gôtt. 1872, p. 473] et reçoivent dès lors des applications 
continuelles. Cette interprétation a été exposée en détail dans S. Lie, Geometrie 
der Berülirungstransformationen 1, Leipzig 1896. Voir aussi les trois chapitres 
que F.Engel a tirés du second volume (non achevé); ces trois chapitres ont été 
publiés: Math. Ann. 59 (1904), p. 193.