200 G. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Garnis. 
b) Par deux faisceaux de plans projectifs dont les axes ne se 
rencontrent pas. 
c) Par l’ensemble des droites qui rencontrent trois droites fixes 
dont deux quelconques ne sont pas situées dans un même plan 52 53 54 ). 
Comme cas particulier est indiqué 03 ) le paraboloïde hyperbolique. 
10. Continuation du programme de Steiner. L’ouvrage cité 51 ) 
de J. Steiner contient l’ébauche d’un vaste programme général, celui 
de la définition purement synthétique des figures géométriques, donnée en 
considérant ces figures comme engendrées par des formes fondamentales 
projectives. 
Ce programme fut plus tard poursuivi par d’autres géomètres, eu 
particulier par F. Seydewitz 54 ) qui a étudié d’une façon approfondie 
les relations homographiques entre deux formes de rang un et les 
involutions, les appliqua à la théorie des coniques 55 ), les correspon 
dances projectives et quadratiques entre les formes de rang deux 56 57 ), 
la génération des quadriques par deux gerbes réciproques 07 ) et la 
construction des quadriques passant par neuf points donnés 58 ), la 
génération des courbes gauches du troisième ordre par deux gerbes 
homographiques 59 ). 
H. Schroter reprend ensuite la génération des surfaces du troisième 
ordre au moyen de trois gerbes de plans homographiques 60 ), poursuit 
l’étude des quadriques et retrouve, par voie géométrique, les propriétés, 
déjà obtenues analytiquement, des courbes planes du troisième ordre et de 
la courbe gauche du quatrième ordre de première espèce 61 ); puis vient 
52) La génération c) se trouve chez G. Monge [géométrie descriptive, (2 e éd.) 
Paris an VI, additions, 2]. Les deux autres n’étaient connues que dans des 
cas métriques particuliers \_E. Kôtter, Jahresb. deutsch. Math.-Ver. 5 2 (1838), 
éd. 1901, p. 76/8] et ont seulement été rendues accessibles à la méthode pro 
jective générale par J. Steiner. 
53) Syst. Entw. 50 ), § 52; Werke 1, p. 374/82. 
54) Archiv Math. Phys. (1) 4 (1844), p. 246. 
55) Id. (1) 5 (1844), p. 225. 
56) Id. (1) 7 (1846), p. 113; (1) 8 (1846), p. 1. 
57) Id. (1) 9 (1847), p. 168/87. 
58) Id. (1) 17 (1851), p. 275; cf. note 57. 
59) Id. (1) 10 (1847), p. 203. La génération des courbes gauches du troi 
sième ordre au moyen de trois faisceaux de plans projectifs apparaît seulement 
chez M. Chasles, C. R. Acad. sc. Paris 45 (1857), p. 189. 
60) J. reine angew. Math. 62 (1863), p. 265. En ce qui concerne H Grassmann, 
voir J. reine angew. Math. 49 (1865), p. 47/65; en part. p. 59/65; Werke 2 1 , publ. 
par E. Study, G. Sehefjers et E.Engél, Leipzig 1904, p. 180/98 en partie, p. 192/8. 
61) Cf. J. Steiner, Vorlesungen über synthetische Geometrie 2, réd. par 
H. Schroter: Die Théorie der Kegelschnitte gestützt auf projective Eigen-