système abstrait envisagé, A et B conservant la même signification dans 
les deux interprétations, mais C prenant un sens différent dans chacune 
des deux interprétations adoptées, et en nous arrangeant de manière 
qu’une certaine proposition d, vraie dans la première interprétation, 
soit fausse dans la seconde. Si l’on y parvient, on aura, par cela 
même 3 '), prouvé que le concept C est indépendant des concepts A et 
B, par rapport au système de postulats a, h, c, . . . 
5. Division de cet article. La division de cet article a été 
dictée par la dictinction entre les développements élémentaires et les 
développements d’ordre plus élevé, dans lesquels il est question du con 
tinuum, de la géométrie projective et des déterminations métriques en 
général: éléments linéaires, distances, groupes de transformation. 
Ce qui caractérise le point de vue élémentaire c’est qu’on y 
rapproche immédiatement et sans s’attacher à les distinguer nettement 
les unes des autres, toutes les idées géométriques qui nous sont 
familières. 
Les développements d’ordre plus élevé impliquent non seulement 
l’emploi de méthodes plus approfondies de recherches, et en particulier 
l’emploi de toutes les ressources de l’analyse, mais encore une sé 
paration et pour ainsi dire une hiérarchie des concepts fondamentaux. 
Un ordre déterminé de concepts y sert de base à un système géomé 
trique déterminé qu’on développe dans une direction abstraite, et à 
ce système géométrique on subordonne ensuite les autres concepts. 
Dans un dernier chapitre on a réuni les recherches nouvelles re 
latives à la géométrie non archimédienne. Elles reposent sur une 
analyse plus abstraite que celle qui avait été faite auparavant de 
notre concept habituel du continuum. 
Questions d’ordre élémentaire. 
6. Kemarque préliminaire. Tout traité de Géométrie contient 
un exposé plus ou moins complet des principes de la géométrie élé 
mentaire. Parmi ces principes nous n’envisageons ici que ceux qui 
ont un caractère général, en renvoyant le lecteur pour tout ce qui 
concerne plus particulièrement les questions de détail aux articles 
de l’Encyclopédie contenus dans le second volume du tome III. 
En nous plaçant au point de vue général nous passerons ici 
successivement en revue les concepts du point, de la droite, du plan, 
du segment, de l'angle, le concept situé entre, les concepts de coïncidence 37 
37) A. Padoa [Bibl. Congrès intern. philos. Paris 1900, 3, éd. Paris 1901, 
p. 309] a insisté sur ce point qu’il a particulièrement mis en évidence.