202 G.Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Garnis. 
historique“ 66 ), surtout dans les notes, et sont développées dans 
son „Traité de géométrie supérieure“ 67 ). Dans le „Mémoire de 
géométrie sur deux principes généraux de la science; la dualité 
et F homographie“ paru après l’„Aperçu historique“ mais rédigé déjà 
en 1829, M. Chasles étudie en détail les relations réciproques et 
homographiques des figures de l’espace 68 ); c’est là 69 70 ) que, partant 
de la considération d’un mouvement infinitésimal ou de celle d’un 
système de forces, il fait remarquer le cas du système réciproque ' 0 ) 
ou focal 71 ). Dans le „Traité des sections coniques“ la théorie de ces 
courbes est développée en partant de la génération projective 72 73 ). 
+ En ce qui concerne les éléments imaginaires, M. Chasles dans sa 
préface du „Traité de géométrie supérieure“ avait nettement indiqué, 
en même temps que l’utilité de l’introduction du principe des signes, 
celle de l’introduction des imaginaires, si l’on veut obtenir des dé 
monstrations aussi générales que celles de la géométrie analytique.* 
Eu général, il voit dans l’algèbre et dans la possibilité d’appliquer 
indifféremment les opérations analytiques aux nombres réels et aux 
nombres complexes, la véritable justification de l’introduction des élé 
ments imaginaires en géométrie* il a su, par des exemples du plus 
grand intérêt, montrer toute l’utilité de cette introduction. Nous ne 
citerons ici que la théorie des surfaces homofocales du second degré, 
où il établit toutes les propriétés de ces surfaces en les considérant 
comme inscrites dans une même développable circonscrite au cercle 
de l’infini. Malheureusement il se borna à considérer les éléments 
imaginaires par couples d’éléments conjugués.* Pour ces couples 
M. Chasles indique des représentations réelles 7a ), au moyen de leur point 
66) ^L’Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en 
géométrie“ n'a été publié qu’en 1837 [Mém. couronnés Acad. Bruxelles in 4°, 11 (1837)] 
à cause des notes, mais les deux mémoires qui le composent ont été envoyés en 1830 
à l’Académie de Bruxelles; (2 e éd.) Paris 1875; (3 e éd.) Paris 1889.* Voir à ce sujet 
G. Darboux, Dével. méthodes géom. 13 ), p. 9; Bull. sc. math. (2) 28 (1904), p. 238. 
67) Traité de géométrie supérieure, (l re éd.) Paris 1852; (2 e éd.) Paris 1880. 
68) Pour les figures planes, voir M. Chasles, Géom. sup. 67 ) (2 e éd.) p. 329/456. 
69) Mémoire de géométrie sur deux principes généraux de la science, la dualité 
et l’homographie, rédigé en 1829, publié en 1837 à la suite de l’Aperçu historique 66 ). 
70) „Ensemble composé d’un plan qui se déplace et du foyer de ce plan. 
Si l’on considère un système de forces quelconques, on peut réduire ces forces à 
deux dont une a pour support une droite arbitrairement donnée. L’autre est alors 
parfaitement déterminée. Si la première se déplace dans un plan, la seconde 
tourne autour d’un point du plan, qui est le foyer (Nullpunkt) du plan.* 
71) Cf. note 94. 
72) M. Chasles, Traité des sections coniques, Paris 1865. 
73) „Les imaginaires, qui se présentent toujours par couples, comme dans