12, Möbius et Plücker. 
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milieu (réel) et du produit des distances à une origine fixe 74 ); plus 
loin, il parle aussi de cercles imaginaires d’un plan réel: il les re 
présente par le centre réel et le carré (négatif) du rayon 75 ), et il les 
utilise pour établir les propriétés des cônes à base circulaire. Il re 
marque aussi que la polarité par rapport à un cercle imaginaire peut 
être obtenue comme section plane de la polarité orthogonale autour 
d’un centre déterminé 76 ); mais la véritable signification de ce point, 
d’être l’un ou l’autre des deux cônes isotropes (Nullkugeln) du 
faisceau de sphères déterminé par le cercle donné, ne fut reconnue 
que plus tard 77 ) par A. F. Möbius 18 ). 
Développement correspondant de la géométrie analytique. 
12. Möbius et Plücker. En géométrie analytique, tout rayonne 
jusqu’en 1825 autour des élégants mémoires de J. F. Gergonne 79 ) *de 
E. Bobillier* et, de l’„Examen des différentes méthodes“ de G. Lamé 80 ). 
Par le développement synthétique de la géométrie projective, la géo 
métrie analytique reçut une impulsion considérable; de nouveaux 
problèmes se présentaient à elle, et pour les traiter il fallait créer de 
nouvelles méthodes. C’est encore A. F. Möbius 11 ) et avec lui J. Plücker 81 ) 
les racines d’une équation du second degré, n’offrent aucune difficulté dans leur 
interprétation, et se trouvent toujours représentées par des éléments réels“ . . . 
[Rapport sur les progrès de la géométrie, Paris 1870, chap. 4, p. 220/1]. 
74) Giéom. sup. 67 ), (l re éd.) p. 56/66; (2 e éd.) p. 54/63. 
75) Id. (l re éd.) p. 546/79; (2 e éd.) p. 502/32. 
76) *Si l’on considère un point A et sa polaire a par rapport à un cercle 
imaginaire, et un point S situé sur l’axe du cercle à une distance P du centre, 
la droite SA est perpendiculaire au plan Sa* 
77) Ber. Ges. Lpz. 9 (1857), math. p. 38; Werke 2, Leipzig 1885, p. 315. 
78) A ce propos, on peut encore remarquer que E. N. Laguerre [Bull. Soc. 
philom. Paris (6) fasc. 7 (1870), p. 95; Nouv. Ann. math. (2) 11 (1872), p. 14, 108, 
241; Œuvres 2, Paris 1905, p. 109, 238] représente des points imaginaires con 
jugués de l’espace au moyen du cercle réel commun aux cônes isotropes (Null- 
kugeln) ayant ces points pour sommets [III 30]. Cette représentation se trouve aussi 
chez W. Fiedler, Cyklographie, Leipzig 1882, p. 138 et suiv. En parcourant le cercle 
de Laguerre dans un sens déterminé, on sépare les deux points imaginaires con 
jugués. Considérations analogues de E. N. Laguerre [Nouv. Ann. math. (2) 9 (1870), 
p.163/241; Œuvres 2, Paris 1905, p. 83/98] pour les points imaginaires du plan. 
79) Ces mémoires sont, pour la plupart, contenus dans les Annales de 
mathématiques pures et appliquées. 
80) Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes 
de géométrie, Paris 1818; (2 e éd.) Paris 1903. 
81) On trouve une appréciation détaillée des travaux de J. Plücker dans le 
discours prononcé par A. Clehsch à sa mémoire [Abh. Ges. Gött. 16 (1871), éd. 
1872, math. mém. n° 1; réimp. par les soins de A. Schoenflies dans J. Plücker, 
Wiss. Abh. 1, Leipzig 1895, p. IX]. En ce qui concerne les œuvres scientifiques 
posthumes de J. Plücker, voir A. Schoenflies, Math. Ann. 58 (1904), p. 385.